- Algoritmul aplicat, calcule numerice ale matricei inverse. Ca și în rezolvarea sistemelor liniare problemei, metode numerice de tratament sunt împărțite în mod direct și iterative; Cu toate acestea, metodele iterative din cauza complexității lor de joacă aici rol mult mai mic.
Cele mai multe dintre metode directe O. m. Ideea se bazează pe descompunerea unei matrice dat în produs ușor de manevrat factori. dacă
- O astfel de expansiune,
Un tipic (și una dintre cele mai comune) metode directe O. m. Este metoda Jordan (a se vedea. [1]).
. Fie matrice non-singular de ordinul n Construirea matricei inverse A -1 apare în pshagov; rezultatul etapei k este o matrice. Primul kstolbtsov un roi coincid cu coloanele corespunzătoare ale matricei de identitate. Tranziția de la (lasa A = 0) pentru un punct de matrice echivalent cu multiplicarea cu o matrice .sleva la rai diferă numai de unitatea (k + 1) th coloană. Elemente ale coloanei sunt alese astfel încât rezultatul (k + 1) coloană la unitatea -lea, și sunt de forma
Prepararea reprezentare factorizata (1) pentru matricea inversă necesită aproximativ înmulțiri și operații de adiție aproximativ. Aproximativ același număr de operații suplimentare necesare pentru a se multiplica în matrice (1) și se obține o imagine clară. În multe aplicații, O. m operare. Foloseste formularul factored (1) este la fel de satisfăcătoare ca formă explicită. Ex. calculul produsului, unde b- vector coloană, necesită aceeași aritmetică. funcționează în ambele cazuri. Cerințele de memorie aceleași și atunci când sunt implementate pe un computer.
În descrierea de mai sus a metodei Jordan presupus pentru simplitate că toate elementele (numite elementele conducătoare) sunt nenul. De fapt, metoda Jordan, ca și metodele de tip Gauss de rezolvare a sistemelor liniare, este folosit în general cu un anumit sistem de pivotare. Folosind un astfel de circuit echivalent cu introducerea în (1), factori suplimentari care iau în considerare permutările rânduri și coloane ale matricei inverse. Precizia soluțiilor calculate, ca și în cazul sistemelor liniare depinde de gradul de creștere a elementelor matricei pe treptele intermediare ale metodei. O astfel de creștere și, în consecință, deteriorarea în precizia soluțiilor metodei Jordan calculate, chiar și atunci când selectați elementul de conducere, sunt mult mai probabil decât în metodele Gauss.
Nevascos xto corespunzătoare inverse aproximative matricei A este. matrice. Avem estimarea
Astfel, norma reziduală este o estimare a preciziei relative a aproximative X. matricei inverse Aceasta este o diferență importantă problemă numerică O. m. Problema sistemelor liniare de rezolvare, în cazul în care (de ex. În metodele ortogonale sau metode de Gauss) rezidual este de obicei mic, iar calitatea derivatului de decizie depinde de sistemul de climatizare.
Manipularea mai multe clase importante de matrice pot fi realizate mult mai eficient decât în cazul general, metode. O astfel de Toeplitz, Hankel, transportor (în special, cu trei diagonală) matrice, matrice bloc având o structură Toeplitz sau structura produsului Kronecker, și așa mai departe. D. Ex. Să matrice T Toeplitz de ordinul n + 1, cu elementele R- sau S:
Se presupune că nu numai T, ci și submatrice principal de ordin pnevyrozhdeny. Apoi, pentru matrice, în general vorbind, nu este un Toeplitz, reprezentarea (a se vedea [2].)
În acest caz, vectorii
sunt respectiv primele și ultimele coloane Astfel Tpolnostyu definite prin specificarea prima și ultima coloane. Dacă este necesar, (2) se poate calcula succesiv toate elementele
Acest calcul necesită aritmetică. operațiuni.
Algoritmii eficiente pentru inversarea Toeplitz. matrici (vezi. de exemplu. [3]) Calculul se efectuează în conformitate cu formulele de recurență și necesită de asemenea operații. Condițiile nondegeneracy submatricile principale pot fi relaxate menținând în același timp ordinul O (n 2) aritmetică necesară. lucru.