La momentul inițial de Romeo și Julieta au fost în A, care corespunde punctului $ (0,0) $ în imagine. In timpul final au fost în oraș B, care corespunde punctului $ (1,1) $ în imagine. Astfel, atunci când este privit de-a lungul traiectoriei, acestea sunt „a trecut“ de jos stânga la dreapta sus. Pe de altă parte, vagoanele se deplasează în spațiul de fază din stânga sus spre dreapta jos. In imagine descrie un căruțe de trafic roșu, verde - mișcarea oamenilor. Evident, calea poate fi nu numai un grafic al funcției, dar, de asemenea, o curbă arbitrară. Acum, observăm că cele două curbe care se conectează colțurile opuse ale pătratului, în cele din urmă se intersectează. (O dovadă riguroasă a acestei afirmații este trivial, dar intuitiv că nu ridică îndoieli.) Aceasta înseamnă că cel puțin un punct din condițiile de spațiu de fază vor fi îndeplinite în același timp, distanța dintre cărucioarele nu mai mult de cinci (persoane dețin de frânghie), dar nu mai puțin de șase (suma razelor de căruțe). Contradicția.
Exemplul 2. Modelul Solow a fost considerat un spațiu de fază unidimensional - singura variabilă a fost $ k $ a capitalului a, consumul este considerat permanent. Într-un model mai complex de Ramsey este luat în considerare faptul că consumul de $ c $ se poate schimba în timp, și vine în joc ca una dintre funcțiile necunoscute. Spațiul de fază devine bidimensional, variabile de fază sunt $ k $ și $ c $ consumul capitalului a.
Exemplul 3: Când am discutat despre creșterea populației (modelul malthusiană), spațiul nostru este unidimensional: ne interesează doar mărimea populației la un moment dat. Dacă am considerat un model mai complex, care include, de exemplu, interacțiunea populațiilor de două specii diferite, vom avea nevoie de două numere pentru a descrie starea sistemului - numărul de indivizi dintr-o specie și o altă specie.
Să considerăm, de exemplu, un model simplu de interacțiunea dintre două tipuri, dintre care unul este un animal de pradă, iar celălalt - victima - de exemplu, reacția dintre iepuri și vulpi sau stiuca si crap.
Să $ x $ - numărul de vulpi, $ y $ - numărul de iepuri. În cazul în care nu există vulpe, numărul de iepuri, rata de creștere este proporțională cu numărul de iepuri în sine (ca și în modelul malthusian - o parte din populație este reprodusă pe unitatea de timp). Dimpotrivă, în cazul în care nu există iepuri, vulpi mor de foame - pe unitate de timp, o anumită parte din populație moare. Fiecare reuniune a unei vulpi cu un iepure (care apar cu o frecvență proporțională cu produsul de $ xy $) contribuie pozitiv la dinmiku vulpi și negative - în dinamica iepuri. Noi scriem ecuația diferențială (un sistem de două ecuații):
$$ \ începe \ dot y = ky- \ lambda \ cdot xy \\ \ dot x = - \ beta x + \ gamma \ cdot xy, \ end $$ unde $ k $, $ \ lambda $, $ \ beta $ , $ \ gamma $ - unii parametri pozitivi.
2. O mică digresiune pe curbe
Curbele de pe planul poate fi definit în trei moduri diferite:
- Sub formă de grafice de $ y = f (x) $ sau $ x = g (y) $, cum ar fi $ y = \ sqrt $.
- Forma parametrică $ x = x (t), \ y = y (t) $. De exemplu, $ x (t) = \ cos t, \ y (t) = \ păcat t $.
- $ F implicit (x, y) = 0 $, de exemplu $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $
Reparametrization: Curbele formular parametrice pot fi setate cu diferite parametrizare. De exemplu, $ x = t, \ y = t $; $ X = 3T, \ y = 3t $; $ X = t ^ 3 + t, \ y = t ^ 3 + t $ - (ce) trei parametrizarea diferite de aceeași curbă. Cu toate acestea, ca vector funcții sunt diferite.
Reparametrization corespunde înlocuirea variabilei independente. Dacă funcția vector neted $ f \ colon [a, b] \ la \ R mathbb ^ n $ definește o curbă, iar funcția $ h \ colon [c, d] \ a [a, b] $ este de asemenea buna, cu ei derivat nu dispare și $ h (c) = a $, $ h (d) = b $, atunci compozit funcția $ f \ $ h Circ (adică $ \ f tilde (s) = f (h (s) ) $) specifică aceeași curbă de la $ s \ in [c, d] $.
Dacă ne imaginăm că fiecare punct scris curba de valoare, atunci când vom trece acest punct, reparametrization - doar schimba „numărul“ de puncte de curbă.
Să ne amintim că tangenta la $ n $ functii vectoriale dimensionale - este o funcție vector constând din derivați ai fiecărei coordonate. Dacă $ f (t) = (f_1 (t), \ dots, f_n (t)) $, atunci $ \ dot f (t) = (\ dot f_1 (t), \ dot f_2 (t), \ puncte, \ dot f_n (t)) $
Declarație 1: Vector derivat $ f $ la $ t_0 $ tangent la curba de la acest punct.
Statement 2: Dacă derivatul reparametrization înmulțirea unui vector cu un număr, dar nu se schimbă direcția. Acest lucru rezultă din teorema derivata unei funcții compozit:
$$ \ df Frac (h (s)) = Frac \ cdot \ Frac = \ dot f \ frac \ $$ Aici $ f $ - este un vector, $ \ frac $ - numărul (și am cerut ca acesta să fie non-zero, ).
Informal, putem spune că reparametrization corespunde unei curbe de modificare a ratei pe care vom merge în jurul valorii de curba.
Sistemul de ecuații diferențiale
Să considerăm un sistem de două ecuații diferențiale: $$ \ începe \ dot x = f (x, y, t) \\ \ dot y = g (x, y, t) \ end $$
Acest sistem poate fi reprezentat ca o singură ecuație diferențială într-un singur vector funcție $ X (t) = (x (t), y (t)) $: $$ \ dot X = F (X, t), $$
În viitor, nu vom distinge între conceptul de „sistem de ecuații diferențiale“ și „ecuație diferențială cu spațiu de fază multi-dimensionale.“
Existența și unicitatea soluțiilor problemei Cauchy
în cazul în care funcția $ f (x, t) $ continuu diferențiabilă ($ C ^ 1 $ buna, care este diferențiabilă și toate derivatele parțiale sunt continue), în vecinătatea $ (t_0, x_0) $ extins spațiul fazelor.
Apoi, există o vecinătate $ U = u_ \ delta (t_0) $, care $ U $ are o soluție $ x = \ varphi (t) $ ecuației (*), care indeplineste conditia $ \ varphi (t_0) = x_0 $ și că orice altă soluție de (*) îndeplinește aceleași condiții, la fel ca $ \ varphi (t) $ pe unele cartier de $ t_0 $.
Dovada pentru cei care doresc să fie în plus. aluneca.
Sisteme autonome de ecuații diferențiale
În cazul în care partea dreaptă nu depinde de $ t $ în mod explicit, un sistem de două ecuații diferențiale devine autonom și își asumă forma:
Pentru sistemele autonome sunt imagini semnificative pe planul de fază:
Opredelenie.Traektoriey (sau curba de fază) a sistemului (2) este o curba specifica parametrically cum $ (x, y) = (x (t), y (t)) $, unde $ (x (t), y (t) ) $ - o soluție de sistem (2).
Notă. Teorema de existență și unicitatea soluțiilor de ecuații diferențiale, rezultă că pentru orice punct definit curbă unic local fază care trece prin ea. Acest lucru rezultă din faptul că setul de curbe integrale invariante în ceea ce privește schimbările temporale.
câmp Opredelenie.Vektornym. specificați sistemul (2) este următorul obiect: la fiecare punct $ (x_0, y_0) spațiu de fază $ trase iesire vector de la $ (x_0, y_0) $ și având coordonatele $ (f (x_0, y_0), g (x_0 , y_0)) $.
Notă. Curbele de fază se referă la sistemele de vectori ai câmpului vectorial corespunzătoare. Rezultă imediat din propoziția 1.
Comunicarea dintre ecuații autonome și neautonome
Discutat la seminarul
Teorema. Luați în considerare sistemul
Pentru orice punct de $ P = (x_0, y_0) $, astfel încât $ f (x_0, y_0) ≠ 0 $, curba de fază a sistemului (3) care trece prin $ P $, coincide cu integrala a curbei pentru ecuația
Dovada. Fiecare vector pentru un câmp vectorial (3) se află pe liniile drepte aparținând liniilor de câmp (4). În ceea ce privește curba de fază a acestor vectori și, prin urmare, aceste linii. Prin teorema existenței și unicitate, curba unică referitoare la aceste linii la fiecare punct - este o curbă integrală (4). Dovada este completă.
(Strict vorbind, am arătat doar faptul că curba de fază (3) este integrala curbei (4). Reverse cantități fapt să spun că curba dată poate fi parametrizate astfel încât vectorul viteză la fiecare punct de timp are o lungime predeterminată. Această afirmație echivalentă cu declarația privind solvabilitatea ecuației diferențiale autonome pe linie, dar omite detaliile.)
produse directe de ecuații
Definiția. sistem autonom de ecuații diferențiale
Se numește produsul direct al ecuațiilor $ \ dot x = f (x) $ și $ \ dot y = g (y) $. În sistemul nostru, parametrii $ x $ și $ y $ nu interacționează, fiecare se supune ecuație diferențială sale.