REZUMAT Metoda axiomatică
În cazul în care teoria nu a fost în măsură să dovedească - devine o axiomă.
Matematica se bazează pe conceptele. Conceptele sunt definite și nedefinite. În conformitate cu definiția înțelege formularea exactă a unui anumit concept. Se determină conceptul matematic - aceasta înseamnă să specifice caracteristicile sale caracteristice sau caracteristici care disting conceptul de restul. Metoda uzuală de determinare a conceptului matematic este de a indica: 1) tipul de vecin, care este un concept mai general, la care termenul definit; 2) din diferența, adică trăsăturile caracteristice sau proprietăți care sunt inerente tocmai această noțiune.
Exemplul 1. Definiție: „Pătratul - un dreptunghi în care toate părțile sunt egale.“ Vino cel mai apropiat, care este un concept mai general este acela al unui dreptunghi, iar diferența specifică este un indiciu că toate părțile sunt pătrat. La rândul său, pentru dreptunghiul conceptul mai general este acela al unui paralelogram, pentru paralelogramului - conceptul unui patrulater la patrulater - conceptul unui poligon, și așa mai departe. Dar acest lanț nu este infinit.
Există concepte care nu pot fi determinate de alte concepte, mai generale. Acestea sunt numite în concepte de matematică nedefinite de bază. Exemple de conceptele de bază sunt punctul, linia, planul, setul la distanță și așa mai departe.
Comunicarea și relația dintre conceptele de bază formulate cu ajutorul axiomelor.
Axiom - o propunere matematică, care urmează să fie luate în această teorie fără dovezi.
Prin sistemul de axiome pe care să se construiască una sau alta teorie matematică trebuie să îndeplinească cerințele de coerență, independența, caracterul complet.
Sistemul axiomă se numește consecvent. în cazul în care din aceasta nu poate fi prezentat simultan două propuneri care se exclud reciproc: A. nope.
Sistemul de axiome este numit independent. în cazul în care nici unul dintre axiomele sistemului nu este o consecință a celorlalte axiome ale sistemului.
Sistemul axiomă se numește complet. în cazul în care este demonstrabilă în mod necesar una din două lucruri: fie aprobarea sau A. Nu.
Propunerea, care nu este prezentă în lista de axiome trebuie să fie dovedită. O astfel de ofertă se numește teorema.
Teorema - o propunere matematică, din care adevărul este stabilit în argumentul, numit dovezi.
Axioma: „Oricare ar fi drept, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu fac parte din ea.“ [10]
Teorema: „Dacă diagonalele Intersect patrulater și punctul de intersecție sunt împărțite în jumătate, atunci acest patrulater - un paralelogram“ [10]
Una dintre principalele metode ale matematicii moderne este metoda axiomatică. Esența ei este după cum urmează:
1) enumeră conceptele de bază nedefinite și relațiile din cadrul teoriei de construcție (exemple de relații: urmează situată între) ..
2) formulat axiome luate fără dovezi ale acestei teorii, care exprimă relația dintre conceptele de bază și relațiile lor;
3) propuneri care nu se numără printre conceptele de bază și trebuie să fie definite relații fundamentale;
4) Propunerile care nu sunt în lista de axiome trebuie dovedită pe baza acestor axiome și au dovedit propuneri anterioare.
1.2 Geometrie euclidiană - prima teorie științifică naturală
Studiul privire de ansamblu istorică a geometriei. Geometrie, înainte de a deveni teoria axiomatica, parcurs un drum lung de dezvoltare empirică.
Primele informații despre geometria au fost obținute civilizații din Orientul antic (Egipt, China, India), în legătură cu dezvoltarea agriculturii, terenul fertil limitat, și altele. În aceste țări, geometria purta caracterul empiric și reprezintă un set de „rețete regulile“ individuale pentru sarcini specifice. Deja în mileniul al II-lea Egiptenii au putut calcula cu precizie aria unui triunghi, volumul unui trunchi de piramidă, o zonă circulară, iar babilonienii cunoșteau teorema lui Pitagora. Rețineți că nu a existat nici o dovadă și să specifice regulile de calcul.
școală filosofică a lui Pitagora (570-471 î.Hr.). A deschis teorema privind suma unghiurilor unui triunghi, a demonstrat teorema lui Pitagora a stabilit existența a cinci tipuri de poliedre regulate și segmente disparate. Democrit (470-370 BC.) Deschis teorema asupra volumului piramide și conuri. Eudoxus (410-356 î.Hr.). A fost creată o teorie geometrică de proporții (adică numărul proporțional teorie).
Menaechmus și Apollonios a studiat secțiuni conice. Arhimede (289-212 BC.) Deschis regulile de calcul suprafața și volumul unei sfere sau alte forme. El a constatat, de asemenea, valoarea aproximativă a π.
Meritul special de oamenii de știință greci este că ei sunt primii care a stabilit obiectivul de construcție stricte a cunoștințelor geometrice și a rezolvat-o în primă aproximație. Problema pusă de Platon (428-348 ien.). Aristotel (384-322 ien.) - cel mai mare filosof, fondatorul logicii formale - aparține o formulare clară a ideii de a construi geometria lanțului de aprovizionare, care sunt derivate de la un altul, pe baza numai regulile logicii. Această problemă încearcă să rezolve mulți cercetători greci (Hippocrates, Fedii).
Euclid (330-275 ien ...) - cea mai mare geometru vechi, un elev al școlii lui Platon, a trăit în Egipt (Alexandria). „Elementele“ format acestea sunt date o expunere sistematică a geometriei a început, a făcut la un astfel de nivel științific, care de multe secole predarea geometriei a fost realizată prin scrierile sale. „Elementele“ sunt formate din 13 de cărți (capitole):
VII-IX - prezentare geometrică aritmetică;
X - segmente disparate;
„Elementele“ nu au fost incluse toate informațiile cunoscute în geometrie. De exemplu, aceste cărți nu sunt incluse: teoria secțiunilor conice, curbe de ordin superior.
Fiecare carte începe cu definirea acestor concepte, care apar în ea. De exemplu, în I Registrul 23 sunt definite. Să ne determina primele patru concepte:
1 punct este cel care nu are părți.
Linia 2 este lungimea fără lățime.
3 Limitele liniei sunt puncte.
4 directă există o linie care este aceeași în ceea ce privește toate punctele sale.
Euclid înaintează propuneri adoptate fără dovezi, împărțindu-le în postulate și axiome. Postulate în cele cinci și axiome - șapte. Iată câteva dintre ele:
IV și toate unghiurile sunt egale.
V Și astfel, ori de câte ori o trecere directă cu celelalte două forme directe le unghiuri interne unilaterale a căror sumă este mai mică de două linii, linia intersectează cu partea pe care această sumă este mai mică de două unghiuri drepte.
Am egală în afară al treilea egal.
II și în cazul în care egalilor adăugat la egali, atunci vom obține egal.
VII și se combină egale.
Euclid nu are, ceea ce este diferența dintre axiome și postulate. Până în prezent, nu există nici o soluție definitivă la această problemă.
Euclid stabilește teoria geometriei ca oameni de știință greci necesară, mai ales Aristotel, adică, Teorema aranjate astfel încât fiecare în urma poate fi dovedită numai pe baza celor anterioare. Cu alte cuvinte, Euclid a dezvoltat o teorie geometrică mod strict logic. Acesta este meritul istoric al lui Euclid înainte de știință.
„Elemente“ Euclid a jucat un rol imens în istoria matematicii și a întregii culturi umane. Aceste cărți au fost traduse în toate limbile importante ale lumii, după 1482, au stat aproximativ 500 de publicații.
Dezavantaje ale sistemului lui Euclid. Din punctul de vedere al matematicii moderne de expunere „elemente“ ar trebui să fie recunoscută ca fiind imperfectă. Care sunt principalele dezavantaje ale acestui sistem:
1) Multe concepte le includ pe cele care sunt la rândul lor, trebuie să fie definite (de exemplu, în definiția 1-4 Capitolul 1 utilizează lățimea conceptelor, lungime, limite, care sunt, de asemenea, să fie stabilite);
2) o listă de axiome și postulate insuficiente pentru construirea geometriei strict mod logic. De exemplu, în această listă nu există nici o ordine axiome, fără de care este imposibil să se dovedească mai multe teoreme ale geometriei; Rețineți că, în această situație a atras atenția Gauss. În această listă, există, de asemenea, nici o mișcare definiție (aliniere), și proprietăți de mișcare, adică axiome mișcare. Lista nu este de ajuns ca axioma lui Arhimede (una dintre cele două axiomele de continuitate), care joacă un rol important în teoria intervale lungi de măsurători, zone de figuri și obiecte tel. Rețineți că aceasta a atras atenția un contemporan al lui Euclid Arhimede;
3) postulează IV în mod clar de prisos, se poate dovedi ca o teorema. Menționăm, în special, al cincilea postulat. În cartea I «elemente“ primele 28 de propuneri au dovedit fără a face referire la al cincilea postulat. Încercarea de a minimiza lista de axiome și postulate, în special, pentru a dovedi postulat V ca o teoremă, realizată din momentul Euclid. Proclus (V. Î.Hr. E.), Omar Khayyam (1048-1123 gg.), Wallis (secolul XVII.), Saccheri și Lambert (XVIII c.), Legendre (1752-1833 gg.) De asemenea, a încercat să demonstreze postulat V ca o teoremă. dovada lor a fost greșit, dar au condus la rezultate pozitive - nașterea a două geometrii (Riemann și Lobachevsky).
Sistem de geometrie non-euclidiana. N.Lobachevsky, care a deschis o nouă geometrie (1792-1856 gg.) - geometria hiperbolică, de asemenea, a început cu o încercare de a demonstra V. postulat
Nikolai a dezvoltat sistemul său la un volum al „Principia“, în speranța de a obține o contradicție. Nu am primit, dar a făcut în 1826 concluzia corectă: există o altă persoană decât geometria euclidiană geometria.
La prima vedere, această concluzie pare destul de rezonabil: poate rafinând, putem ajunge la o contradicție. Dar aceeași întrebare se aplică geometria euclidiana. Cu alte cuvinte, cele două geometriile sunt egali în fața problema coerenței logice. Analiza ulterioara a arătat că coerența ar trebui să fie consistența unei geometrie diferită, și anume, egalitate deține sisteme logice.
Lobachevsky a fost prima, dar nu singurul care a ajuns la concluzia cu privire la existența unei geometrii diferite. Gauss (1777-1855 gg.) A exprimat această idee încă din 1816 în scrisori private, dar în publicațiile oficiale ale cererii nu a făcut-o.
Este adevărat că de geometrie hiperbolică a facilitat în mare măsură de lucru în geometria după Lobachevskian. In 1868, matematicianul italian E.Beltrami (gg 1825-1900.) Arată că suprafața de curbură negativă constantă (așa-numita pseudo-sferă) deține geometria Lobachevskian. Vulnerabilități dovedesc consistența hiperbolică interpretării bazate pe geometria Beltrami, a fost că, așa cum se arată prin Hilbert (1862-1943 gg.) In spatiul Euclidian, nu există nici o suprafață totală de curbură constantă, fără caracteristici negative. Prin urmare, pe suprafața de curbură negativă constantă poate fi interpretată doar parțial Lobachevskian geometrie plană. Acest dezavantaj a fost eliminat Poincaré (1854-1912 gg.) Și F.Kleynom (1849-1925 gg.).
Dovada consistența geometriei Lobachevskii a fost în același timp dovada independenței a cincea postulat de cealaltă. Într-adevăr, în cazul în funcție de geometria Lobachevsky ar fi controversată, deoarece ar conține două declarații se exclud reciproc.
Studii suplimentare ale geometriei euclidiene demonstrat sistem incomplet de axiome și postulate Euclid. Investigarea euclidian axiomatica finalizat în 1899, Gilbert.
Hilbert axiomatica este format din cinci grupuri:
• axiome de comunicare (accesorii);
• axiome Congruență (potrivire de egalitate);
Aceste axiome (20 în total) sunt obiecte de trei feluri: puncte, linii, avioane, și trei relațiile dintre ele: „aparține“, „se află între“, „congruent“. Sensul specific puncte, linii, avioane și relația nu este specificat. Acestea sunt determinate în mod indirect de axiome. Din cauza acestui construit pe baza axiome ale geometriei lui Hilbert permite diferite implementări concrete.
Sistemul geometric bazat pe aceste axiome, numită geometria euclidiană, din moment ce aceeași geometrie, Euclid este descris în „elemente“.
Sisteme geometrice, altele decât euclidiană, numita geometrie non-euclidiana. Conform relativității generale, spațiu, nici unul, nici celălalt nu este complet corecte, dar la o scară mică (scara de pământ sunt, de asemenea, destul de „mici“), acestea sunt potrivite pentru a descrie spațiul. Motivul pentru care, în practică, aplicarea formulei euclidian, este simplitatea lor.
Gilbert a explorat în mod cuprinzător sistemul lor de axiome, a demonstrat că este consecventă, în cazul în care nu aritmetică contradictorii (de exemplu, fapt dovedit informativ, sau așa-numita consistență externă). El a finalizat studiul geometriei vechi de secole bazele geometriei. Această lucrare a fost foarte apreciat și în anul 1903 a acordat premiul numit după Lobachevsky.
În expunerea axiomatică a geometriei euclidiene de astăzi nu se bucură întotdeauna axiomele Hilbert pe manuale de geometrie sunt construite pe diferite versiuni ale sistemului de axiome.
În secolul XX. sa constatat că geometria Lobachevskian nu numai că este important pentru matematică abstracte ca una dintre posibilele geometriile, dar, de asemenea, direct legate de aplicațiile de matematică. Sa constatat că relația dintre spațiu și timp, deschis de Einstein și alți oameni de știință din cadrul teoriei speciale a relativității, este direct legată de geometria Lobachevsky.