Derivata a doua. Convex și funcția concavă.
condiție suficientă de concavitate (convexitate) a unei funcții.
Derivata a doua. Dacă derivatul f „(x) funcția f (x) este diferențiabilă în punctul (x0), atunci aceasta se numește derivata derivata a doua a funcției f (x) la punctul (x0), și este notată cu f“ „(x0).
Funcția f (x) este declarat a fi convexă pe intervalul (a. B), în cazul în care graficul acesteia pe acest interval este sub o tangentă la curba y = f (x) în orice punct (x0. F (x0)), x0 (a. b).
Funcția f (x) se numește concavă pe intervalul (a. B), în cazul în care graficul acesteia pe acest interval se întinde deasupra tangenta la curba y = f (x) în orice punct (x0. F (x0)), x0 (a. b).
condiție suficientă de concavitate (convexitate) a unei funcții.
Să presupunem că funcția f (x) este de două ori diferențiabilă (un al doilea derivat) al intervalului, apoi (a b.):
(A. B) Dacă f '' (x)> 0 pentru toate x, atunci funcția f (x) este concavă pe intervalul (a b.);
Dacă f '' (x) <0 для любого x ( a. b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a. b ).
Punctul peste care funcția schimbă umflatura pe versa concavă sau viciu, se numește tochkoyperegiba. Rezultă că, dacă punctul de inflexiune al doilea derivat există x0 f '' (x0), atunci f '' (x0) = 0.
Luați în considerare graficul funcției y = x 3.
Această funcție este concavă la x> 0 și convexe la x <0. В самом деле, y '' = 6 x. но 6 x> 0 când x> 0 si 6 x <0 при x <0, следовательно, y ''> 0 când x> 0 și y '' <0 при x <0, откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x> 0 și convexe la x <0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x 3.