În cazul în care U - un set universal și AÍ U, atunci diferența U \ A se numește complement al multimii A la setul U și notat.
Diagrama Euler Venn corespunzătoare:
diferența de Symmetric A și B este mulțimea notată de ADV și constând din aceia și numai acele elemente care aparțin A \ B și B \ A.
Diagrama Euler Venn corespunzătoare:
Transformarea în partea stângă a identității.
Astfel, sa dovedit fidel identitatea.
Exemplul 2: Dovedește identitatea: Creați dublă și, de asemenea, pentru a dovedi.
Dovada valabilității dublă egalității și egalitatea cu diagrame oferta pentru a efectua pe cont propriu.
Aici este o dovadă a validității acestei egalitati prin transformarea (dovada pentru dual comportati):
Exemplul 3: Dovedește identitatea:
Transformarea în partea dreaptă a identității:
5. Teorema privind numărul de subseturi de un set finit.
Luați în considerare multimea A = în cazul în care | A | = 3, și o multitudine de V, unde | B | = 4.
Forma de diferite subseturi ale multimii A:
Total apeluri primite 8 subseturi.
Formăm toate subgrupurile posibile ale B:
Am primit 16 de subseturi.
Folosind rezultatele exemplelor de mai sus, se poate presupune validitatea următoarea egalitate: n = 2 m. unde n - numărul de subseturi ale unui anumit set finit, m - cardinality.
Validitatea ipotezelor demonstrează teorema, presupunem fără dovezi.
Teorema: Dacă r este egal cu numărul de toate subgrupurile unui anumit set, notat cu P (A) este un set finit și capacitatea sa este egală cu 2 m.
Exemplu: Se calculează numărul de subseturi M - numărul de separatoare 20.
Formăm mulțimea M și pentru a găsi puterea:
= M. Putere | M | = 6, atunci numărul de subseturi egal cu P (M) = 2 6 = 64.
6. Principiul de incluziune de excludere.
Noi acum ilustrează aplicarea operațiilor pe platourile de filmare, va trebui să rezolve problema de a găsi numărul de elemente ale set-seturi, există condiții multiple. Mai jos curse privit-noi doar seturi finite.
Exemplu: Într-o clasă de 30 de elevi, 16 dintre ele sunt angajate în muzică, 17 dependent de tenis și 10 sunt angajate și muzică, și tenis. Există o clasă de elevi, și indiferentă față de muzică, și tenis, și dacă da, cât de multe?
Soluție: .. Dacă adăugați la numărul de studenți interesați de muzică, cu numărul de elevi implicați în tenis, care este, 16 + 17 = 33, studenții care sunt interesați de muzică și tenis, vor fi luate în considerare de două ori. Prin urmare, pentru a determina numărul de studenți interesați de muzică sau de tenis, aveți nevoie de suma de 16 + 17, se scade numărul de studenți numărat de două ori, adică. E. Cei care sunt interesați de muzică și tenis. Conform ipotezei lor 10. Astfel, numărul de tenis interesat sau muza Coy este: 16 + 17-10 = 23, elevul. Și, la fel ca în clasa de numai 30 de studenți, de 30-23 == 7 studenți și sunt indiferenți față de muzica, și pentru tenis.
Problema este rezolvată prin următorul algoritm: în cazul în care există două seturi finite A și B. Apoi:
n (AÈ V) = n (A) + n (B) - n (AÇ B) (1)
În acest caz, A - o pluralitate de cursanți interesați zykoy-lea și n (A) = 16, o pluralitate de elevi B- tenis interesați și n (B) = 17, n (AÇB) = 10, și apoi a primit de formula n (AUV) = 16 + 17-10 = 23.
Îngreuneze sarcina: lasa pe cei care sunt interesați de clasa de muzica - set A, cât și celor care se bucură de tenis - set B, se adaugă, de asemenea, cei care sunt interesați teatrom- set C. Cât de mulți studenți sunt interesați, sau muzica, sau tenis sau teatru, t. e., care este egal cu numărul n
În cazul în care seturile A, B și C se intersectează numai în perechi, adică. E.ÇÇC =Æ, Numărătoarea poate fi efectuată ca mai înainte: poziția Snachev la pliat (A) + f (V) + f (C), și apoi scade numărul acelor elemente, polițiști, care sunt numărate de două ori, adică scade numărul n + .. n (AÇ C) + n (BÇ C). Daca multimea AÇÇS¹Æ,. elementele sale au apărut necontabilizate: în primul trei considerat atunci când sunt pliate n (k> p + (B) + n (C), iar apoi de trei ori i-au jefuit, scăzând n + n (AÇ C) + n (BÇ C).
Astfel, la timp, numărul de
mai puțin rezultatul exact adevărat de numărul de elemente din punctul de vedere re secțiune a seturilor AÇÇCu aceasta, și ar trebui să fie adăugate la radiații în rezultatul corect:
O formulă similară poate fi obținută pentru orice număr de seturi.
În formulele (1) și (2) se calculează numărul de ori fiecare element este inclus și excluse, prin urmare, ele sunt numite incluziuni și excluderile-prim plan catâri.
Luați în considerare mai multe exemple de formule obținute.
Exemplul 1: La examenul de admitere în matematică au fost oferite trei sarcini: algebra, geometrie plană și geometrie solidă. Din cei 1.000 de elevi sarcina de algebră a decis 800 de geometrie plană - 700, și în geometria solidă - 600 de solicitanți. În acest caz, sarcina de algebră și geometrie plan pentru a alege 600 de candidați, în algebra și geometria solidă - 500, în geometria plană și geometria solidă - 400. Toate cele trei obiective au decis 300 de participanți. Susche-există dacă reclamantele nu au decis nici o problemă, și dacă da, cât de multe?
Decizie. Să U - mulțimea tuturor intrați, A -. mulți studenți care optează pentru probleme în algebra, în - mulți elevi care au decis să sarcina pe geometria plan, C - o mulțime de studenți care au decis să însărcineze pe geometrie solidă. Prin ipoteză, n (U) = 1000, n (A) = 800, n (V) = 700, n (C) = 600, n (AÇB) = 600, n (AÇC) = 500, n (BÇC) = 400, n (AÇBÇC) = 300. În setul AÇBÇC include toți solicitanții care aleg să ho-cha la o sarcină. Conform formulei (2) avem:
n (A U B U C) == 800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300 = 900.
Rezultă că nu toate incomig a decis să cel puțin o problemă. Nici o problema nu a rezolvat
n (U) - n (AUBUC) = 1000 - 900 100 == (solicitanți).
Exemplul 2: 45 de elevi intervievați Sondaje din clasa a IX-bufnițe, printre care 25 băieți. În acest caz, sa dovedit că 30 de persoane au evaluare jumătate de an, 4 și 5, inclusiv 16 băieți, sport implicați 28 de studenți, inclusiv 18 băieți și 17 elevi, care au realizat numai bune sau excelente, 15 tineri să învețe de la bun și excelent și de a face sport . Matematicianul de primă clasă uitat la rezultatele și a spus că există o eroare. Cum este posibil pentru a afla?
Soluție: Fie A Notăm mulțimea de tineri din - o pluralitate Achievers 4 și 5, C - o pluralitate de sportivi. Prin starea problema n (A) = 25, n (V) = 30, n (C) = 28, n (AÇB) = 16, n (AÇC) = 18, n (BÇC) = 17, n (AÇBÇC) = 15. Să ne găsim comune studenții Num lo care sunt sau băieți, sau pentru a juca sport, sau au timp pe 4 și 5. În conformitate cu formula (2) obținem:
n (A UBUC) = 30 + 25 + 28- 16- 18- 17 + 15 = 47. Acest lucru nu poate fi, astfel cum a fost investigat un total de 45 de elevi! Prin urmare, în aceste indicații au erori.
Soluție Figura este ilustrată prin diagrama Euler - Venn.
Intersecția seturilor A, B și C supra-scrie numărul 15, deoarece condiția de n (AÇBÇC) = 15. În set-seturi AÇB \ C număr scriere 16-15 = 1, setul BÇC \ A - numărul 18-15 = 3, setul BÇC \ A-număr 17-15 = 2, mulțimea A \ (BÈC) - numărul de 25- (1 + 15 + 3) = 6, mulțimea B \ (A ÈC) - numărul de 30- (1 + 15 + 2) = 12, în set-ve C \ (AÈB) - numărul de 28- (3 + 15 + 2) = 8. Pentru a găsi n (AÈÈC) pliat număr suficient înregistrate ca acestea corespund seturi nu intersecteze-lupta. Obțineți numărul 47> 45, ceea ce este imposibil de starea problemei.
Sarcini pentru decizia independentă
1. Descrie o multitudine de puncte M în plan: a); b); c).
2. Având în vedere setul. Construi o multitudine de ((ADV)È(B \ C)). Găsiți numărul de subseturi set construite. Arată diagrama corespunzătoare Euler - Venn.
3. Dovedește folosind diagrame Euler - Venn legea de absorbție a justiției.
4. dovedi identitatea cu ajutorul diagramelor și prin transformări:
5. Numărul de persoane care lucrează în departamentul Institutului. Fiecare dintre ele cunoaște cel puțin o limbă străină, iar 6 vorbesc germana, 6 - 7 Engleză - Franceză 4 - engleză și germană, 3 - germană și franceză, 2 - franceză și engleză, 1 - toate cele trei limbi. Câți oameni lucrează în departamentul? Cât de mulți dintre ei știu numai în limba engleză?
6. Dintre cei 35 de elevi participa la clasa 20 de matematică cerc, 11 - 10 Fizică - nu merg la cluburi. Cât de mulți studenți frecventează cercurile matematice și fizice, în același timp, cât de mult - doar matematica?
1. Explicați conceptul unui set. Multe exemple. Cum pentru a desemna seturile și elementele lor?
2. Care sunt diferitele modalități de definire a seturilor?
3. Folosind un set de proprietăți caracteristice ale finit, infinit nenumărat, numărabilă infinită și setul gol.
4. Cum este un element aparținând setului și care nu aparțin?
5. Care sunt relațiile dintre cele două seturi?
set operatorii 6. Listă cu reducerea diagrame Euler corespunzătoare - Venn.
7. Lista identitatea seturi.
8. Stat teorema privind numărul de subseturi de un set finit.
9. Se înregistrează numărul de elemente din formula combinarea a două sau trei seturi.