Problema mișcării sferei într-un volum nemărginit
Să considerăm problema mișcării sferei complet solide într-o greutate infinită fluid incompresibil ideală, atunci când fluidul nici forțele de masă externe.
Lăsați raza sferei se deplasează translațional în raport cu un sistem de referință fix la o viteză într-un volum nelimitat de fluid incompresibil ideal. mișcare fluidă cauzată de mișcarea sferei în ceea ce privește acest cadru de referință, vom numi „absolut“ mișcare.
Studiu de mișcare „absolută“ a fluidului vom folosi sistemul de coordonate în mișcare, care este conectat rigid cu sfera și își are originea în centrul său.
Mișcarea de fluid grupul perturbat va fi potențial în cazul în care este continuă și a apărut de la oprire. Potențial datorită ecuației de continuitate pentru un fluid incompresibil trebuie să satisfacă ecuația Laplace peste tot în afara sferei,
cu următoarele condiții suplimentare: un lichid se sprijină infinit, și, în consecință,
pe suprafața sferei trebuie satisfăcută impermeabilitate și a fluxului de lichid neseparate (componenta normală a vitezei fluidului trebuie să fie egală cu componenta normală a punctelor de viteză pe suprafața sferei).
Dacă sfera avansează cu o viteză de-a lungul unei axe, condiția de curgere (impermeabilitatea) poate fi scrisă astfel:
în care - cu unghi variabil între și.
Soluția acestei probleme este unică și este ușor să se obțină pe baza unor soluții particulare ale ecuației Laplace.
în cazul în care - este o constantă. Deci, selectați o funcție satisface ecuația lui Laplace în afara sferei și la infinit tinde la zero, împreună cu derivații lor, adică, Acesta îndeplinește condiția limita la infinit.
Acum aveți nevoie pentru a ridica ca valoare constanta pentru a satisface condiția la limită de impenetrabilitate (7,52). Pe suprafața sferei, în mod evident,
Înlocuind această valoare în (7.52), obținem
și anume condiția (7.52) vor fi îndeplinite dacă luăm
Astfel, funcția
Ea dă soluția problemei mișcării unei sfere într-un lichid. Fig. 7.21 arată fluxul construit curent chiar. Dacă sfera avansează cu o viteză direcționată în mod arbitrar în raport cu axele de coordonate, pentru mișcarea perturbate potențiale vitezele fluidului va corecta formula
În cazul general, cu mișcări arbitrare sferă ca un solid (de translație și rotație) potențială viteză este reprezentat de formula (7.55), care sunt componente ale centrului vitezei sferei axelor în mișcare.
Pentru a determina distribuția presiunii de suprafață sferică necesară pentru a face uz de integrale Cauchy - Lagrange. În timpul mișcării înainte de-a lungul axei, atunci când funcția este definită în mișcare sistemul de coordonate (a se vedea. (7.35)), avem
în cazul în care funcția este deja definită pe baza punctului de la infinit, în care se presupune că și. Cunoașterea distribuției de presiune pe suprafata, puteți găsi forța exercitată de către fluidul din sfera.
Luați în considerare problema fluxului de trecut un flux sferă fix de un fluid incompresibil ideal. Lăsați debitul la infinit și este orientată paralel cu axa. mișcarea fluidului în acest caz, poate fi numită o „rudă“. Potențialul de viteză trebuie să peste tot în afara sferei satisface ecuația Laplace
precum și următoarele condiții la limită la infinit
și pe suprafața sferei
Pentru această sarcină folosim soluția problemei anterioare a mișcării unei sfere într-un lichid în repaus. Este ușor de observat că domeniul de aplicare al soluției de curgere a problemei poate fi obținută în cazul în care întregul sistem de lichid plus sferă în sarcina anterioară de a informa viteza în cazul în care - sectorul de viteză. astfel, domeniul de aplicare a opri, în timp ce mișcarea de fluid este suprapus anterior disponibil inainte de flux paralel cu axa, al cărui potențial.
Potențiala Fluxul astfel obținut
Este o funcție armonică care îndeplinesc condiția de la infinit, și starea de pe suprafața unei sfere.
Astfel, formula (7.57) dă o soluție la problema. Cele ale fluxului de flux prezentată în Fig. 7.22. Suprafața sferei în acest caz este o suprafață de curent.
Distribuția vitezei „relativă“ a unei suprafețe sferice
Astfel, la punctele (fig. 7.22), și în care, viteza, adică acest lucru - punctul critic. Cea mai mare viteză este atinsă și când (această viteză este egală, adică jumătate la fel de mult viteza de curgere incidente).
Cunoașterea distribuției de viteză pe suprafața sferei, putem calcula distribuția de presiune. În cazul în care viteza nu depinde de timp (mișcarea de echilibru), puteți utiliza integrala Bernoulli:
Dacă viteza este constantă, distribuția presiunii asupra sferei în aceeași mișcare „absolute“ și „relativ“ (a se vedea. 7.56) și poate fi calculat cu formula (7.59). Formula (7.59), rezultă că presiunea la punctele simetrice sunt identice. Prin urmare, este clar că forța totală exercitată de fluid pe sferă rigidă, exact zero. Sferă nu experiență de rezistență, forță de ridicare este de asemenea zero.
Acest rezultat, cunoscut sub numele de paradox D'Alembert este valabil nu numai pentru domeniul de aplicare, dar pentru orice formă arbitrară a corpului finală se deplasează cu viteză constantă într-un fluid ideală fără a ne îndepărta de pe suprafața corpului și cu condiția ca viteza fluidului este zero la infinit. Paradoxul este eliminat prin faptul că, în realitate, mișcare fluidă neseparat în jurul sferei nu se realizează. Cu sferice vârtejuri tronconice suprafață, modelul de curgere este alterat și rupt simetrie în distribuția presiunilor pe partea din față și părțile din spate ale suprafeței sferei.
Să considerăm acum cazul în care centrul sferei se mută într-o linie dreaptă de-a lungul axei fluidului la o rată variabilă. În acest caz, mișcarea inconstantă a fluidului, și se poate folosi lui Cauchy integral pentru distribuția presiunii - formă Lagrange (7.56) și potențialul de viteză a lichidului - formula (7.54).
Este evident că calculul forței totale în formula (7.56) trebuie utilizat numai membru
deoarece alți membri ai presiune dată, în aceleași puncte simetrice sferă.
(. Figura 7.23) despicarea suprafața sferică în fâșii elementare cu zona și sferă integratoare pe întreaga suprafață, pentru forța exercitată asupra sferei de fluid, obținem următoarea expresie:
Noi construim ecuația de mișcare în proiecția pe axa greutății bilă, la care acționează pentru a forța în afară de lichid o forță externă. vom avea
Notând, vom rescrie această ecuație în forma
Rezultă că domeniul de aplicare se va muta într-un fluid sub influența unor forțe externe, în același mod în care s-ar deplasa sub influența acestor forțe în gol în cazul în care masa sa este schimbat la. Valoarea se numește sferele de masă alăturate. Acesta este egal cu jumătate din masa fluidului deplasat de sferă. Prezența mediului extern (în cazul nostru - de fluid) se reduce doar la o creștere de inerție a balonului.