Orice sistem de coordonate în care punctul în reprezentarea bidimensională (tridimensional) spațiu este definit de trei (patru) de coordonate (P1. P2. P3 (P4)) se numește omogen sistem de coordonate. În general, ar trebui să existe una mai mult decât pentru spațiul n-dimensional de numărul de coordonate omogene: n + 1.
Folosirea coordonatelor omogene, în general, se pot elimina apar anomalii atunci când se lucrează în coordonate carteziene, și să reprezinte transformări complexe ca produsul mai multor matrici.
Interpretarea geometrică a cazului de spațiu bidimensional: administrarea la a treia coordonate, este egal cu unitatea, poate fi tratată ca o tranziție spre spațiu tridimensional, în care este permis să opereze doar în plan z = 1. Este de imaginat că un ecran de computer (plan de imagine, planul imaginii) este într-un plan z = 1:
În cazul secțiunii de ieșire model pentru z = 1 este returnat forțat desen în această secțiune - pentru a face posibile următoarele operații:
Această operație se numește coordonate omogene normalizate:
În general tip de transformare
Matricea de transformare conține constantele m și n. sub acțiunea care punctul este deplasat de unități m de-a lungul axei x și n unități - de-a lungul axei y:
Datorită coeficienți și o matrice de transformare d este o creștere (sau descreștere) punctul de valori de coordonate (x, y) în a și d ori axele x și y, respectiv:
scală totală completă
În acest caz, atunci când s <1 будет происходить увеличение значения координат точки (x, y) в s раз; при s> 1 obținem efectul opus - o reducere valori de coordonate (x, y) la timpul s.
Rotație de către un unghi # 952;
aici # 952; - unghiul la care doresc să se rotească punctul (x, y). Rețineți că rotația este în jurul punctului (0, 0) a unui sistem de coordonate cartezian invers acelor de ceasornic!
Afișați sau oglindire
Oglindire relativ drept y = x (Figura 1.6a.):
· Reflectând în ceea ce privește liniile x = 0 (Fig 1.6b.):
· Reflectând în ceea ce privește linia y = 0 (Figura 1.6c.):
· Oglindirea față de origine (Figura 1.6D.):
Rotirea forme in jurul unui punct arbitrar (m, n), la orice unghi # 945;
Pentru a efectua orice conversie complicat, trebuie să se extindă la operațiunile de bază. Rotirea forme in jurul unui punct arbitrar (m, n), la orice unghi # 945; Se compune din trei operații de bază: 1) pe figura de transfer vector A (-m -n) pentru punctul de combinare (m, n) la origine; 2) de rotație figura printr-un unghi # 945 ;; 3) care transportă piese pe vectorul A „(m, n) pentru a reveni la poziția sa inițială. Deoarece cifra poate reprezenta un set de puncte, operațiunile 1) - 3) poate fi realizată secvențial pentru fiecare punct. Arătăm acest lucru printr-un exemplu.
Să presupunem că dorim să se rotească în triunghiul coordonatele A (x, y), B (x1, y1), C (x2, y2) în jurul unui punct D (m, n) de unghiul # 945;. Fie P-s - matricea de transfer punct pentru vectorul A (-m, -n), V # 945; - un unghi de rotație matrice # 945; Ps - punct matricea de transfer pentru vectorul A „(m, n).
Deci, avem toate datele necesare pentru a efectua conversia complexă a primului punct - A (x, y):
Exact aceleași transformări trebuie efectuate pentru cele două puncte ale triunghiului rămase, înlocuind coordonatele lor în loc de x și y (vezi organigrame. Fig. 1.7). Astfel, o operațiune complexă este împărțită în produs parțial și este dat matrici de transformare corespunzătoare și ordinea în care sunt multiplicate matrici, determină în mod substanțial rezultatul.
Proeminența centrală (perspectivă)
px + QY + 1 = H - plane.
1. În general, modificările de matrice rezultă uneori variază.
2. Operațiunile de matrice, consecutive, pot fi multiplicate separat, principalul lucru - nu pentru a schimba ordinea lor (a se vedea nota 1.).
3. Liniile cu () transformările de mai sus afine descrise trec linia. De aceea, de obicei, recalculat de coordonate numai blaturi figura, iar apoi vârful corespunzătoare formei care rezultă sunt conectate, ca în figura originală.
Găsirea punctul de intersecție a două linii
Să presupunem că există două linii: x + y = 1, 2x - 3y = 0, este necesar să se găsească la punctul de intersecție. Soluția poate fi găsită cu utilizarea matricelor. Se transferă toți termenii ecuațiilor din partea stângă: x + y - 1 = 0, 2x - 3y - 0 = 0; scrie coeficienții prima ecuație din prima coloană a matricei, a doua ecuație - a doua:
Condiția în care se intersectează două linii arată astfel:
| X Y 1 | * M = | 0 1 0 |
Pentru a găsi răspunsul trebuie ambele părți ale ecuației anterioare se înmulțește pe dreapta prin matricea inversă M-1 (înmulțirea M și M-1 se obține matricea unitate E):
| X Y 1 | * E = | 0 1 0 | * M-1
Răspunsul este: punctul de intersecție al liniilor: x = 3/5, y = 2/5.
· Axonometria (dreptunghiular) proiecție
Geometria afină este mijlocul de tragere; în această geometrie este folosită proiecția paralelă, care este produsă printr-un fascicul de linii paralele (vezi. fig. 3.1 din stânga). Determinantul transformării matricei în geometria afină este zero. Geometria este un agent de perspectivă artistică în acestea nu sunt linii paralele și se folosește o proeminență centrală, în care toate liniile converg într-un punct la orizont (a se vedea figura 3.1, dreapta ..); datorită faptului că una, două sau trei componente ale a patra coloană a matricei de transformare nu este egal cu zero, iar determinantul său nu este zero.
Cel mai frecvent bidimensional și tri-dimensională de transformare afină. Proprietățile lor de bază geometrice: linii drepte după transformare rămân drepte, paralele - planuri paralele sunt plane și paralele cu planul - paralel. Desen obiect tridimensional, indiferent dacă apare sau hârtie pe ecranul de afișare este realizată folosind proiecții bidimensionale. Planul de proiecție punct al fiecărui obiect proiectat într-un anumit fel la planul de proiecție, și se numește punctul de proiecție a imaginii. În cazul în care proiecția liniei care leagă punctul obiectului cu punctele corespunzătoare ale proiecției, în paralel, avem un plan paralel cu proiecția. În cazul în care liniile de proiecție converg la un punct comun, imaginea rezultată se numește o proiecție sau în perspectivă imaginea centrală a obiectului.
Noi considerăm viitoare mai multe tipuri de proiecții axonometrice. Rețineți că printre ele sunt dreptunghiulare (ortogonale) a proeminenței - cele în care razele proeminente sunt perpendiculare pe planul imaginii. cuvintele „axonometrică“ și „dreptunghiulară“ este adesea folosit ca sinonime.