Seria Opredelenie.Znakochereduyuschimsya este o serie de forma
în cazul în care - numere pozitive.
Pentru un rânduri alternante au următorul criteriu suficient pentru convergență:
Teorema Leibniz. În cazul în care membrii unei serii alternante (4.1), scăderea valorii absolute și a limita termenul său general de la zero, atunci seria converge, iar suma acestora nu este mai mare decât primul termen.
Ie în scopul de a investiga seria alternantă de convergență, este suficient să se verifice următoarele două condiții:
Notă. (3.2) poate fi realizată pornind de la un.
Exploreaza convergența următoarelor serii:
Decizie. pentru că membri ai seriei de valori absolute :. scad monoton și în general. iar termenul general al seriei tinde la zero atunci când, în virtutea converge seria caracteristice lui Leibniz.
Decizie. Verificați condiția (3.2). Dovedește această inegalitate este dificilă. De aceea, aplicăm următoarea tehnică: dovedesc că scade monoton la un anumit interval de forma prin calcularea funcției derivat, și studiile (a fost deja făcută în § 2, secțiunea IV, exemplul 2). În cazul nostru. și funcția scade monoton într-o anumită perioadă de timp. Prin urmare, inegalitatea (3.2) este satisfăcută pentru orice. începând cu trei.
Verificăm condiția (3.3). Pentru ca acest lucru să fie calculat. Folosind regula L'spitalului, obținem. În consecință ,.
astfel ambele condiții sunt îndeplinite Leibniz teorema, și, prin urmare seria converge.
Definiția. Seria se numește alternativ. dacă unii dintre membrii săi sunt atât pozitive, cât și negative.
Evident, o serie de alternante sunt un caz special de alternativ.
Presupunem acum că înregistrarea
Există atât pozitive, cât și negative.
Teorema. (Criteriu de convergență modulare serie alternantă).
În cazul în care grupul format din valorile absolute ale termenilor seriei alternante (3.4):
converge, apoi converge și seria.
Rețineți că, în cazul în care seria (3.5) divergent, nu rezultă că seria (3.4) este de asemenea divergente. De exemplu, seria converge pe baza Leibniz, și un număr de valori absolute ale membrilor săi (seria armonica) divergenta.
În acest sens, putem introduce conceptul de convergență absolută și condiționată:
Definiția. Seria Alternarea se numește absolut convergentă. în cazul în care grupul format din valorile absolute ale membrilor săi.
Definiția. Seria Alternarea este numit convergenta. în cazul în care grupul format din valori absolute. divergent, și seria converge.
De exemplu, un număr este convergent convențional (vezi. Exemplul 1). O serie este absolut convergentă, deoarece format din valorile absolute. converge (cu armonice generalizate).
Aproximativ vorbind, diferența dintre serii absolut convergente și condiționată este după cum urmează: serii absolut convergente converge, în principal datorită faptului că membrii lor sunt în scădere rapidă, și în mod condiționat converg - ca urmare a faptului că termenii pozitive și negative anulează parțial reciproc.
Proprietăți absolut și în mod condiționat serie convergente sunt semnificativ diferite: serii absolut convergente cu proprietăți care amintesc de sume finite: se pot adăuga, multiplica, termeni reordonate ale seriei. Condițional serie convergentă astfel de proprietăți nu posedă. Să luăm, de exemplu, o serie de convergenta. Noi rearanja termenii de scaune si grupeaza-le după cum urmează:
Rescrie numărul ca (care a făcut prima acțiune în fiecare suport):
Vedem că permutarea termenilor din suma acesteia a scăzut de 2 ori.
Se poate arăta (teorema lui Riemann) că rearanjarea unei serii convergenta se poate obține un număr care are orice sumă prescrisă, și chiar și o serie de divergente.
Exploreaza rândurile convergenței absolută și condiționată.
Decizie. Format din valorile absolute ale termenilor acestei serii: converge pe baza de comparație, deoarece . și unele - converge (generalizate serie armonic cu). Prin urmare, această serie este absolut convergentă.
Decizie. Forma seria valorilor absolute ale termenilor seriei :. Investigați această serie pentru convergența la testul comparativ limită, comparând-o cu o referință următor (p ridica în timpul comparației), și au numai dacă grade egalitate de numărătorul și numitorul, adică la. prin urmare, rândurile comparate sunt divergente. Astfel, seria format din module, cote și nici o convergență absolută.
Noi investigăm seria alternând cu ajutorul tag-ul Leibniz. Este clar că:
Ambele puncte caracteristică Leibniz sunt, prin urmare, numărul de convergentă condiționat.
Exploreaza rândurile convergenței absolute și condiționată:
Până în prezent, am analizat rândurile, ai cărui membri erau număr, și anume seria numerică. Considerăm acum seria ai cărei membri sunt o funcție, în special, funcțiile de putere cu exponenți număr întreg nenegativ:
Definiția. Seria (4.1) se numește o putere. iar numerele se numesc coeficienții seriei de puteri.
Luați în considerare seria de putere și forma mai generală:
(În grade). Acest număr nu diferă în mod substanțial de seria de forma (4.1), deoarece se reduce la o simpla schimbare a variabilelor.
Definiția. Setul de valori. în care seria de putere (4.1) sau (4.2) converge este numită regiunea de convergență a seriei de puteri.
Structura zona de convergență a unei serii de puteri este stabilită de următoarea teoremă:
1) În cazul în care seria de putere de forma (4.1), adică în puteri. converge la o valoare (alta decât zero), apoi converge, și, în plus, în mod absolut, pentru toate valorile astfel încât.
2) Dacă seria putere de forma (4.1) diverge la o valoare. l diverge astfel încât pentru toate valorile.
Din teorema lui Abel implică următoarea teoremă.
Teorema. Regiunea de convergență a seriei de puteri de forma (4.2), adică o serie de puteri. Este un interval centrat în punctul și se termină la punctele și.
Numărul a fost numit raza de convergență. iar intervalul - intervalul de convergență a unei serii de puteri. La capetele intervalului de convergență, adică în cazul în care problema convergenței sau divergența seriei se decide în mod individual pentru fiecare serie.
O anumită convergență a intervalului seria degenerează într-un punct (pentru), în timp ce alții acoperă întreaga axă reală (cu).
Pentru a începe să indice o metodă de determinare a intervalului de convergență a seriei de putere pentru exemplul (4.1).
Luați în considerare format din valorile absolute ale termenilor acestei serii:
pentru că la fiecare serie special (4.3) este un znakopolozhitelnym numeric următor, apoi pentru a clarifica problema convergenței sale se poate utiliza testul d'Alembert lui:
Să presupunem că acolo
Apoi, pe baza seriei d'Alembert converge în cazul în care (adică), și în cazul în care diverge (care este).
Prin urmare, seria (4.1) converge absolut în cazul în care și divergenta. și intervalul de convergență este un interval. și raza de convergență este numărul.
Când testul d'Alembert lui nu răspunde la întrebarea de convergență, astfel încât este necesar, înlocuind valorile din intervalul (4.1), pentru a investiga seria numărul rezultat în fiecare caz.
Notă. Intervalul de convergență poate fi găsit prin utilizarea testului rădăcină (de asemenea, aplicarea ei seriei (4.3)):
Găsiți zona de convergență a seriei de putere:
Decizie. Luați în considerare format din valorile absolute ale termenilor seriei
Se aplică testul d'Alembert lui.
De aici obținem intervalul de convergență :.
Noi investigăm convergența pe capetele intervalului:
Atunci când seria originală ia forma: - o serie armonică generalizată sub. și, prin urmare, converge. Atunci când primiți o serie absolut convergentă. deoarece format din module membrilor săi converg.
În consecință, numărul intervalului de convergență este de forma :.
Decizie. Seria compus din module are forma:
seria converge la toate. Astfel, intervalul de convergență este un interval.
Decizie. Format din valorile absolute ale termenilor seriei. Explorăm folosind testul de rădăcină:
Prin urmare, zona de convergență a seriei constă dintr-un singur punct.
De aici obținem intervalul de convergență :.
Atunci când seria originală este după cum urmează: - o serie de divergente (o armonică generalizată la). Substituind. Obținem o serie convergenta. În cele din urmă, un număr al intervalului de convergență este de forma :.
Din seria de putere
1. Suma seriei de putere este o funcție continuă în întreaga gamă de convergență a seriei.
2. Seria de putere poate fi integrate pe termen de termen peste orice segment. situată în intervalul de convergență
3. Seria de putere în interiorul intervalului de convergență pot fi diferențiate pe termen de termen orice număr de ori. În acest caz, vom obține seria de putere de aceeași rază de convergență:
Sarcini. Găsiți zona de convergență a seriei de putere:
84. 85. (Notă. Ancheta a convergenței la capătul din dreapta al intervalului considerând că numerele factoriale mari pot fi exprimate aproximativ prin formula lui Stirling).
Taylor și Maclaurin serie
Să presupunem că funcția. definite și infinit derivabile într-un punct de cartier. poate fi reprezentat ca suma seriei de puteri, sau cu alte cuvinte, acesta poate fi extins într-o serie de putere
Ne exprimăm coeficienții seriei prin. Să ne găsim funcția derivat. diferențiere pe termen de termen, un număr de ori:
A crede în egalitatea obținută. Obținem. . . . .... de unde
Substituind valorile coeficienților. (5.1), obținem o serie:
numita serie Maclaurin.
Rețineți că nu toate funcțiile pot fi extinse într-o serie Maclaurin. Este posibil ca seria Maclaurin compilate pentru funcțiile formale. Este divergent sau convergent să nu funcționeze.
Dacă trimiteți o serie Maclaurin în formă. în cazul în care - lea sumă parțială a - lea restul seriei, putem formula următoarea teoremă:
Teorema. Pentru a Maclaurin seria converge la funcția. este necesar și suficient la numărul de reziduu tinde la zero, adică pentru toate valorile intervalului de convergenta a seriei.
Putem dovedi că în cazul în care funcția este extins într-o serie Maclaurin, este o descompunere unică.
Notă. Seria Maclaurin este un caz special al seriei Taylor:
Seria Taylor este strâns asociat cu formula Taylor:
. unde - termenul rest cu formula lui Taylor, care pot fi scrise sub forma Lagrange: