manual electronic de geometrie
Capitolul 10. euclidian n-dimensional spațiu. forme pătratice și în euclidian spațiu Quadric
1. spațiu euclidian
vertex Problema 1. În spațiul Euclidian sunt cunoscute A (4; 3; 3; 4; 5), B (-2, 2, 2, 5, 4), C (1; 2; 2; 1; 5) al triunghiului ABC . Găsiți lungimea laturilor, și valorile mediane ale unghiurilor unui triunghi.
Decizie. Găsiți lungimea laturilor AB, BC și AC. Pentru a face acest lucru, găsiți mai întâi coordonatele vectorilor corespunzători:
Pe același algoritm găsește lungimea BC și AC ale altor părți.
Calculăm lungimea medianele triunghiului ABC - AM, BN. CK.
Găsim coordonatele punctelor M, N. K.
pentru că M - BC mijlocie, coordonatele calculate după cum urmează:
În mod similar, vom găsi coordonatele punctelor N și K, punctele de centru AC și AB, respectiv:
Noi găsim coordonatele vectorilor
Răspuns. AB = 8; AC = 6; BC =; AM =; BN =; CK =; ; ;
Problema 2. Găsiți un înălțimi triunghi lungime spațiu ABC Euclidian de V. vertex redus dacă coordonatele cunoscute ale nodurilor A (4, 3, 2, 1), B (1, 3, 1 -2,), C (0; 3; 2; 1).
Decizie. Găsiți lungimea laturilor AB, BC și AC. Pentru a face acest lucru, găsiți mai întâi coordonatele vectorilor corespunzători:
Pe același algoritm găsește lungimea BC și AC ale altor părți.
AB = Got că BC. Prin urmare, triunghiul ABC - isoscel. Prin proprietatea unui triunghi isoscel este o linie dreaptă trasată de la vârful la baza triunghiului este mediana, bisectoarea și că înălțimea BH - mediana, bisectoare și altitudinea.
pentru că H - AC medie. coordonatele calculate după cum urmează:
Noi găsim coordonatele vectorului.
Problema 3. Găsiți proiecția ortogonală a punctului A (1, -5, 2, 0) pe linia l.
Decizie. Ia vectorul de direcție - vectorul direcție l. vector perpendicular pe un plan. ; - un plan tridimensional definit de ecuația
Având în vedere că. avem:
pentru că . înlocuim coordonatele punctului.
Ie Ecuația hiperplan este după cum urmează:
Substituind în ecuația linie dreaptă l. Obținem coordonatele punctelor.
Sarcina 4. Găsiți unghiul dintre vectorul și hiperplan.
Decizie. Noi găsim coordonatele vectorului normal al ecuației plan. .
Conform formulei (5) § 93 vom găsi unghiul dintre vectorii și.
Problema 5. În spațiul Euclidian sunt cunoscute coordonatele nodurilor A (4, 3, 2, -1), B (4; 1; 5; -1), C (5, 6, 6, 1) triunghi ABC. Demonstrati ca ABC triunghi dreptunghic.
Decizie. Găsiți lungimea laturilor AB, BC și AC. Pentru a face acest lucru, găsiți mai întâi coordonatele vectorilor corespunzători:
Folosind teorema lui Pitagora demonstrăm că triunghiul ABC-unghi dreapta:
- adevărat triunghi ABC egalitate dreptunghiular.
Sarcina 6. Crearea ecuație hiperplan P. hiperplane paralele și extinzându-se din acesta la o distanță predeterminată 2.
Decizie. pentru că și paralel, ecuația hiperplan poate fi scrisă ca:
D poate fi găsită prin formula distanței dintre două planuri paralele:
În cazul nostru, această distanță este cunoscut :.
Sarcina 7. Găsiți distanța de la punctul A (0, 3, 2, -5) la linia l.
Decizie. Ia vectorul de direcție - vectorul direcție l. vector perpendicular pe un plan. ; - un plan tridimensional definit de ecuația
Având în vedere că. avem:
pentru că . înlocuim coordonatele punctului.
Ie Ecuația hiperplan este după cum urmează:
Substituind în ecuația linie dreaptă l. Obținem coordonatele punctelor.
Găsim lungimea segmentului AM. Pentru a face acest lucru să găsim mai întâi coordonatele vectorului corespunzător:
Găsim lungimea vectorului.
Sarcina 8. Găsiți punctul de proiecție M (1, -3, 2, 1, 6, 7) pe hiperplan Euclidian spațiu SP.
Decizie. vector direcția liniei MR este vectorul perpendicular pe planul P. (2, -3, 0, 1, -1, 2).
Scriem ecuația liniei MR.
Substituind valoarea t în ecuația (*), obținem coordonatele punctului de proiecție M pe hiperplan dat P (-3, -3, 2, -1, 8, 3).
Răspuns. P (-3, -3, 2, -1, 8, 3).
Sarcina 9. punct dat A (-3, 0, 1, 3) și B (5; 2; 2; 3). Găsiți proiecția ortogonală a vectorului la hiperplan P.
Decizie. Pentru proiecția ortogonală a vectorului pe un plan suficient de la începutul și sfârșitul vectorului pe planul inferior al perpendiculare. Bazele acestor perpendicularele determină proiecția vectorului pe un plan (fig. 25).
vector de direcție este un vector perpendicular pe linia P. planul (2; 1; 0; -1).
Scriem ecuația liniei.
Substituind valoarea t în ecuația (*), obținem coordonatele de proiecție ale punctului A de pe acest hiperplan (9; -6, 1, 9).
vector de direcție este un vector perpendicular pe linia P. planul (2; 1; 0; -1).
Scriem ecuația liniei.
Substituind valoarea t în ecuația (**), se obține coordonatele punctului de proiecție în hiperplanul dat (9; -6, 1, 9).
Apoi coordonatele vectorului sunt după cum urmează:
Sarcina 10. Crearea unei ecuații perpendicularei a scăzut de la punctul A (1, -3, -2, 4) la linia l.
Decizie. Ia vectorul direcție - vector direcțional liniei l. vector perpendicular pe un plan. ; - un plan tridimensional definit de ecuația
Având în vedere că. avem:
pentru că . înlocuim coordonatele punctului.
Ie Ecuația hiperplan este după cum urmează:
Substituind în ecuația linie dreaptă l. Obținem coordonatele punctelor.
Se calculează coordonatele vectorului de direcție al liniei drepte AM.
Apoi ecuația AM scrise perpendicular după cum urmează: