Aparate matematice ale mecanicii cuantice
În mecanica cuantică, fiecare variabilă dinamică (coordonate, impuls, energie, etc.), se atribuie un operator autoadjunct liniar. Operator numit. regulă sau legea sub care funcția. din funcțiile unei clase i se atribuie o funcție diferită # 966;.
Operatorii sunt notate cu *. de ex. . etc. Ei spun că operatorul acționează asupra f sau operatorul are o funcție
Operator care acționează asupra unei funcții, obținem:
Operatorul este definit pe o anumită clasă de funcții. Operatorul se consideră a fi acordată în cazul în care este indicat nu numai de regulă, prin care se transformă o funcție la alta, dar, de asemenea, o varietate de funcții pentru care acționează operatorul. De exemplu, operatorul diferențial definit pe o clasă de funcții derivabile.
Suma sau diferența înseamnă operator,
În cazul general. dar, în cazul în care succesiunea acțiunilor operatorului este lipsită de relevanță, și anume . noi spunem că acești operatori fac naveta sau acești operatori fac naveta. În cazul în care operatorii nu fac naveta. În plus, există operatori anticommutative comutative și operatorii non-comutative.
Produsul de 2 operatori identice. n ori. .
În mecanica cuantică, un rol important este jucat de către operatorii de auto-adjuncte liniare (Hermitian). proprietate liniaritate implică faptul că
Aici și - permanente
și funcția, care este definită.
Operatorii de stare liniaritate poate fi scris ca:
Operatorii pot avea un caracter vectorial. În mecanica cuantică, operatorul comun nabla:
Produsul unui operatori 2 vectori construite ca un produs scalar al vectorilor:
Operator. pentru care se numește următoarea ecuație. autoadjunct sau Hermitian:
Funcțiile și impune ca operatorul a fost definit pentru ei și integralele în această expresie acolo.
* Denotă conjugare complexă. De exemplu, pentru exprimarea
Pentru conjugat complex care conține unitatea imaginară, ar trebui să fie înlocuită cu - .: Real operator de sub conjugare complexă rămâne neschimbată.
Proprii și funcțiile autovalorile operatorului
Ca urmare a acțiunii de funcție, aceasta nu se schimba sau modificări doar cu un factor, de exemplu. atunci spunem că - este o valoare proprie. și funcția - operatorul propriu.
Condițiile în care operatorul părăsește funcția f constantă, la într-o constantă multiplicativă, poate fi scrisă ca: (1).
Aici - o constantă în funcție de tipul de operator și funcția. Evident, nu orice funcție f îndeplinește condiția (1), și nu la orice sens. Valori. pentru care ecuația (1) are soluții nenule, numite autovalorile operatorului. Set de valori proprii se numește spectrul de valori proprii. Spectrul poate fi continuu și discret. Este continuu, în cazul în ecuația (1) are o soluție pentru toate valorile într-un interval. Spectrul autovalorile pot fi amestecate, adică, constau din valori continue si discrete. Fiecare eigenvalue corespunde unei funcții private. În acest caz, se spune că funcția corespunzătoare aparține unei valori corespunzătoare. Dacă fiecare eigenvalue aparține unui număr de funcții diferite. atunci spunem că acest spectru ori mai mare degenera. Să considerăm câteva proprietăți importante ale valorilor proprii și funcții proprii.
Teorema 1: În cazul în care operatorul este autoadjunct, atunci ei sunt reale valori proprii.
Teorema 2: Funcția corespunzătoare și un operator autoadjunct. aparținând diferitelor valori proprii și reciproc ortogonale:
În cazul spectrului discret este o valoare integrală finită.
În cazul în care, în loc de opțiuni, selectați Opțiuni. atunci avem. Funcția de înlocuire în modul numit funcția de evaluare. iar coeficientul - coeficientul de normalizare.
Funcția se numește normalizat. Funcția corespunzătoare a spectrului discret se poate presupune întotdeauna normalizate.
Condițiile ortogonalitate și normalizarea împreună pot fi scrise după cum urmează:
Pot exista cazuri în care diferite funcții proprii aparțin aceleași valori proprii, adică există degenerare. Funcții degenerate în general, nu vorbesc ortogonale.
Teorema 3: Dacă mai multe funcții proprii aparțin acelorași valori proprii, orice combinație liniară a acestor funcții este o soluție a ecuației operatorului cu aceeași valoare proprie.
Teorema 4: În cazul în care operatorul 2 și au propriile lor funcții, acestea fac naveta sistem global complet.
Teorema 5: În cazul în care operatorul 2 și naveta, ei au funcții proprii comune.
Teorema 6: Sistemul de funcții proprii ale ecuației operatorului este completă. Acest lucru înseamnă că orice funcție. definite în aceleași variabile de câmp și subordonată aceleași condiții de delimitări ca propriul spectru discret al operatorului. Acesta poate fi reprezentat ca o serie de aceste funcții proprii: