variabile aleatoare

Valoarea Opredelenie1.Sluchaynaya - variabila care primește în mod aleatoriu un rezultat trece printr-o valoare numerică de necunoscut în avans anumit set de valori, în care probabilitatea definită a evenimentului pe care o variabilă aleatoare ia valoarea.

Setarea acestei probabilități se numește o lege variabilă aleatoare (sau).

Opredelenie2. O variabila aleatoare X este funcția numerică unică. definite pe spațiul de evenimente elementare. că fiecare eveniment elementar atribuie un număr. . Acest lucru ar trebui să fie definită probabilitate de evenimente elementare.

Pentru a desemna variabile aleatoare utilizate în mod obișnuit cu majuscule ale alfabetului latin X. Y. Z. ...; x litere mici corespunzătoare. y. z. ... indică valorile specifice pe care le iau.

Există două tipuri de variabile aleatoare - discrete și continue, în funcție de tipul de valorile setate.

Variabila aleatoare discrete ia izolate una de alta valorile numerice ale unui set numărabilă finit sau infinit de valori, adică un astfel de set, elementele care pot fi enumerate și scrise în succesiune. . .... ...

variabilă aleatoare continuă are valoarea de necunoscut în avans un interval :.

Deci, numărul de generali viitoare printre cei o sută de absolvenți de școală de poliție - o variabilă aleatoare discretă cu posibile valori 0, 1, 2, ..., 100, și gama de un glonț atunci când tras - și în avans valoarea necunoscută continuă de la 0 la 1 km.

Funcția de distribuție a variabilei aleatoare

Variabile aleatoare sunt variate în natură, origine, cu toate acestea, legea de distribuție poate fi scrisă într-o formă universală uniformă, și anume sub forma funcției de distribuție.

Funcția de distribuție a variabilei aleatoare X este funcția F (x) pentru orice x exprimă probabilitatea ca variabila aleatoare X ia valoarea x minimă. .

Geometric, funcția de distribuție este interpretat ca probabilitatea ca variabila aleatoare X atinge un punct predeterminat spre stânga axei reale x.

Funcția F (x) este numit, de asemenea, funcția de distribuție cumulativă (sau lege integral de distribuție).

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Funcția de distribuție a variabilei aleatoare F (x) - este non-negativ, iar valorile sale se află între zero și unitate :.

2. Funcția de distribuție F (x) este o funcție descrescătoare :.

3. În cazul în care continuă variabila aleatoare X este definită pe axa întreaga reală,

4. În cazul în care variabila aleatoare X ia valorile numai în intervalul [a; b], atunci funcția F (x) este distribuția:

5. Probabilitatea variabila aleatoare X în contact cu un interval semideschis egal cu creșterea funcției sale de distribuție în acest interval:

F (x) 6.Funktsiya distribuția arbitrară a variabila aleatoare X este lăsat continuu, adică limita la stânga a funcției F (x) la punctul a este egal cu valoarea sa de la punctul a:

7. P (X ≤ a) = F (a +0), unde limita dreaptă a funcției în punctul a;

sau mai mult într-o formă extinsă:

P (X ≤a) = P (X

Din această ecuație obținem probabilitatea ca variabila aleatoare X are o valoare specifică egală cu P (X = a): P (X = a) = F (a + 0) - F (a).

Discretă variabile aleatoare

De obicei, legea de distribuție este dată în tabel, care se numește distribuție.

Aici primul rând conține toate valorile posibile (finită sau infinit) ale X variabila aleatoare (în mod normal, enumerate în ordine crescătoare), adică x1. x2. ..., x n ...; iar în alt rând se indică probabilitatea de acceptare a variabila aleatoare X a acestor valori. adică p 1 = P (X = x 1), p 2 = P (X = x 2), .... P = pn (X = xn) ....

Rețineți că evenimentul. . ...,

incompatibile între ele și formează un grup complet, astfel încât suma probabilităților lor este egală cu o :.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete:

- pas de rupere este o funcție constantă pe porțiuni salturi care apar la punctele care corespund valorilor posibile ale variabilei aleatoare și probabilități egale ale acestor valori. Suma tuturor discontinuităților funcționa F (x) este egal cu 1.

Exemplu. O discretă variabilă aleatoare X are un număr de distribuție:

Găsiți F (x) Funcția de distribuție.

Soluție: Se calculează valoarea funcției de distribuție

În această formulă, a rezumat doar pk probabilitatea unui număr de distribuție care corespund valorilor x k. mai mici (poziționat la stânga) decât valoarea x, care se calculează în funcție F (x).

F (x) = 0 pentru h≤-1 (Xk, deoarece numărul x mai mic în distribuție nu este prezent.);

F (x) = 0,2 pentru -1<х≤0 (так как х1 =-1<х, и одно слагаемое р1 =0,2);

F (x) = 0,2 + 0,1 = 0,3 pentru 0<х≤2 (так как х1 =-1

F (x) = 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,6 2<х≤3 (так как

F (x) = 0,2 + 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,8 3<х≤4 (так как х1 =-1

variabile aleatoare continue

Să presupunem că funcția de variabilă aleatoare continuă este continuă în orice punct în domeniu și diferențiabil pretutindeni, cu excepția, eventual, pentru un număr finit de puncte.

Densitatea de probabilitate (distribuția densității sau o densitate) a variabila aleatoare X este derivata funcției de distribuție.

Densitatea de probabilitate este, uneori, de asemenea, numit o lege diferențială sau o funcție de distribuție diferențială.

Proprietățile densității de probabilitate:

1. Densitatea de probabilitate - funcția negativă :.

3. Probabilitatea ca continuu variabila aleatoare X ia valoarea x. au fost deținute

Suma (diferența, produs) și Y velichinX aleatoare

Două variabile aleatoare x și y sunt numite independente. în cazul în care evenimentele sunt independente și pentru toate valorile și.

Suma (diferență, produs) al variabilelor aleatoare X și variabila aleatoare Y se spune, notate X + Y (X - Y. X · Y), care ia toate valorile posibile ale formei unde i = 1,2 (.). n și j = 1,2, ..., m cu o probabilitate ca variabila aleatoare X ia valoarea. iar variabila aleatoare Y ia valoarea.

În cazul independenței X și Y.

Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

Sensul probabilistic așteptarea este că aceasta dă valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Așteptarea M X (sau M (X)) a unei variabile aleatoare X discretă este definită prin formula :. Continuous (în cazul în care converge integrale).

Proprietățile așteptarea:

1. Dacă variabila aleatoare X are aceeași valoare, adică X ° C, așteptarea matematică este egal cu C: M (C) = C.

2.Postoyanny factor poate fi luat ca un semn al așteptărilor: M (k X) = kM X. unde k este o constantă.

3. Așteptarea Suma algebrică a două (sau mai multe) variabile aleatoare X și Y. definit pe unul și același spațiu evenimente elementare egal cu suma algebrică a așteptărilor lor matematice: M (X + Y) = M x M + Y.

4.Matematicheskoe așteptarea unui produs de două (sau mai multe) variabile independente aleatoare X și Y. definit pe unul și același spațiu de evenimente elementare, este produsul de așteptările lor matematice: M (XY) = M X × M Y.

5. Așteptarea unei abateri de variabile aleatoare de așteptare matematică este egal cu zero: M (X -MH) = 0.

DX varianța variabila aleatoare X este definită prin formula: DX = M (X - X M) 2.

sau cuvinte, variația variabilei aleatoare - este așteptarea pătratul abaterii unei variabile aleatoare de la așteptările sale.

Pentru a calcula varianța utilizând formula :.

Pentru o formulă variabilă aleatoare discretă scrisă ca: D = X =.

(În cazul în care converge integrale).

Caracterizează măsura dispersiei imprastiere (dispersie) variabilă aleatoare în raport cu așteptările sale. În cazul în care toate valorile unei variabile aleatoare este strâns centrată în jurul așteptările sale și abatere mare de speranța puțin probabil ca o variabilă aleatoare are o dispersie mică. În cazul în care valorile variabilei aleatoare și probabilitatea de abateri mari împrăștiate de speranța, că o variabilă aleatoare are o variație mare.

1.Dispersiya valoare constantă este zero: D (C) = 0.

Factorul 2.Postoyanny poate fi luat ca un semn de dispersie, ridicand-o la pătrat:

D (Kx) = k 2 D (X).

3.Dispersiya suma algebrică a unui număr finit de variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor lor :.

Pentru mai multe informații despre legile de distribuție de probabilitate a variabilelor aleatoare reprezintă, pentru claritate, tabelul următor:

articole similare