secvență numerică VI
§ L48. Suma de progresie geometrică infinit
Până în prezent, vorbim despre sumele care le-am presupus întotdeauna că numărul de termeni în cursul acestor sume (de exemplu, 2, 15, 1000, și așa mai departe. D.). Dar, în rezolvarea unor probleme (matematică în special superior) și care se confruntă cu sumele din numărul infinit de termeni
Care sunt mai exact aceste sume? Prin definiție, suma unui număr infinit de slagaemyha1. a2. o. Sn se spune că pentru a limita cantitatea primelor numere n unde n -> ∞:
Limita (2), desigur, pot exista sau nu exista. Prin urmare, se spune că suma (1) există sau nu.
Cum a afla dacă există o sumă de (1), în fiecare caz? Soluția generală a acestei întrebări depășește cu mult limitele programului nostru. Cu toate acestea, există un caz special de important, pe care le vom discuta astăzi. Ar fi o însumare a membrilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
Să A1. a1q. a1q 2. - scăderea infinit progresie geometrică. Acest lucru înseamnă că | q |<1. Сумма первых п членов этой прогрессии равна
Teoremelor fundamentale cu privire la limitele variabilelor (., A se vedea § 136), obținem:
Cu toate acestea, 1 = 1, q n = 0. Prin urmare,
Astfel, suma progresie geometrică infinit este egal cu primul termen al acestui progresti împărțit la un minus numitorul acestei progresii.
1) Suma exponențial 1, 1/3. 1/9. 1/27. este
iar suma o progresie geometrică a 12; -6; 3; - 3/2. este
2) Simplu 0.454545 fracție periodică. atrage ordinare.
Pentru a rezolva această problemă să ne reprezentăm această fracțiune ca o sumă infinită:
Partea dreaptă a acestei ecuații este suma de progresie geometrică infinit, primul termen este egal cu 45/100. și numitorul 1/100. prin urmare
Metoda descrisă poate fi obținută și regula generală de manipulare fracții periodice simple, în comun (a se vedea capitolul II, § 38 ..):
Pentru a accesa o fracție periodică simplă în comun nevoia de a face următoarele: în numărătorul perioadei pentru a pune punctul zecimal, iar numitorul - numărul format din nouari luate ori de câte ori caractere afișate în zecimal.
3) mixt 0.58333 fracțiune periodică. atrage ordinare.
Reprezintă această fracțiune ca o sumă infinită:
În partea dreaptă toți termenii, pornind de la 3/1000. formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, primul termen este egal cu 3/1000. și numitorul 1/10. prin urmare
Metoda descrisă poate fi obținută și tratamentul global amestecate în general în fracțiuni periodice obișnuite (a se vedea. Ch. II, § 38). Noi în mod deliberat nu-l dau aici. Amintiți-vă că este greoaie, de obicei, nu este necesar. Mult mai util să se știe că orice fracție periodică mixtă poate fi reprezentat ca suma progresie geometrică infinită și un anumit număr. O formulă
este necesară, desigur, suma progresie geometrică infinită, amintiți-vă.
Ca un exercițiu, vă oferim, în plus față de numărul următoarele sarcini 995-1000, încă o dată rândul său, la numărul de activitate 301 § 38.
995. Ceea ce se numește suma progresie geometrică infinit?
996. Găsiți suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare:
997. Pentru ce valori a lui x progresie
Este infinit în scădere? Găsiți suma acestei progresii.
998. Într-un triunghi echilateral cu laturile și înscrisă de unește punctele de centru laturile sale un nou triunghi; în acest triunghi înscris în același mod un nou triunghi, și așa mai departe ad infinitum.
a) suma perimetrelor tuturor acestor triunghiuri;
b) suma suprafețelor acestora.
999. Într-un pătrat cu latura și a intrat prin conectarea punctele de centru laturile sale un nou pătrat; în pătrat, în același mod înscris pătrat și așa mai departe ad infinitum. Găsiți suma perimetrelor tuturor acestor pătrate și suma suprafețelor acestora.
1000. Să fie infinit descrescătoare progresie geometrică, astfel încât este egală cu suma de 25 de trimestre. și suma pătratelor membrilor săi egal cu 625/24.