Toți coeficienții primului grafic sunt pozitivi, deci sistemul este stabil
7. A doua metodă a lui Lyapunov
Metoda a doua, directă, Lyapunov face posibilă investigarea stabilității soluțiilor ecuațiilor diferențiale neliniare, fără a realiza o soluție a ecuațiilor în sine. Vom investiga stabilitatea soluției triviale a sistemelor autonome de ecuații diferențiale, adică a sistemelor de ecuații de formă
În acest sens, presupunem că funcțiile fi (x1, ..., xn) au derivați parțiali continuu cu privire la toate argumentele din domeniul G. convex G.
Considerăm funcțiile V (x1, ..., xn) care sunt definite și continue în domeniul G: Funcția V (x1, ..., xn) se consideră a fi semn pozitiv (semn-negativ) în domeniul indicat G, dacă pentru orice . Funcția V (x1, ..., xn) se consideră a fi pozitivă definită (definitivă negativă) în același domeniu G dacă pentru orice dacă și numai dacă Funcțiile V (x1, ..., xn) ale primului tip sunt numite constante semn, în timp ce al doilea tip este numit sign-definite. Semnificația semnului este definită pur și simplu dacă funcția V (x1, ..., xn) este o formă patratică, adică, . Apoi, funcția V (x1, ..., xn) este definită pozitiv dacă forma quadratică de mai sus este definitivă pozitivă. Să dăm o funcție definită V (x1, ..., xn) unei interpretări geometrice. Luați în considerare funcția a două variabile V (x1, x2). Pe planul x1, x2, linia V (x1, x2) = c (c este un număr) este o curbă închisă care conține originea coordonatelor din interiorul acesteia (Figura 3). Pentru c = 0, curba contractează la origine. Fie t (t) o soluție a sistemului (1) care satisface condițiile inițiale si (t0) = xi0. Derivatul complet cu privire la timpul t al funcției V (x1, ..., xn) în virtutea sistemului (1) este funcția , sau, ținând seama de formula integral derivată, . Din această formulă rezultă că derivatul (1) nu depinde de soluția aleasă s (t), ci este o funcție a punctului . În caz contrar, expresia rezultată poate fi scrisă ca: . este produsul scalar al vectorului pe vectorul vitezei de fază
Articole similare