Să presupunem că un volum elementar sub forma unui paralelipiped se mișcă cu laturile dx, dy, dz (vezi Figura 2.38). Pe paralelipiped, forțele de suprafață ale forțelor de presiune și masă acționează cu proeminențele X, Y, Z, care se referă la o unitate de masă. Atunci când se mută volumul, apar forțe de inerție. Proiecțiile acestor forțe pe axele de coordonate, raportate la masa unității, sunt egale, respectiv:
Fig. 2.38. Schema de mișcare uniformă a unui volum de lichid
Luați în considerare starea de echilibru a forțelor, în proiecția pe axa x. Forță de presiune pe partea stângă - pdydz, pe partea dreaptă
unde = # 916; p este schimbarea presiunii de-a lungul axei x.
Forța de masă este egală cu X # 961; dxdydz. Ecuația de echilibru poate fi scrisă în formă
Împărțirea fiecărui termen al ecuației cu # 961; dxdydz. avem
În consecință, pentru axe, ecuația de echilibru va arăta astfel
Combinând ecuațiile obținute, obținem sistemul de ecuații Euler:
Este posibil să se obțină diferența totală a ecuațiilor Euler pentru o mișcare constantă dacă luăm în considerare deplasarea particulelor lichide de-a lungul liniei de flux. Pentru aceasta, trebuie să înmulțim fiecare dintre ecuațiile sistemului prin proiecția corespunzătoare a deplasării elementare a particulelor dx, dy, dz. și le-a pus împreună:
pentru că pentru un flux constant, fluxurile coincide cu traiectoriile mișcării particulelor
Pentru o mișcare constantă, presiunea depinde numai de coordonate, astfel că al doilea termen al ecuației este diferența de presiune totală dp. Avem
Am obținut o ecuație diferențială pentru mișcarea unui fluid invizibil.
În domeniul gravitației
atunci ecuația poate fi scrisă în următoarea formă
După integrarea acestei ecuații, obținem (pentru # 961; = const), ecuația