Estimarea probabilității unui eveniment aleatoriu - secțiunea Educație, Metode de estimare statistică Ca rezultat al implementării unui anumit set de condiții, poate apărea cineva.
Ca rezultat al implementării unui anumit set de condiții, se poate produce un eveniment aleatoriu, probabilitatea apariției acestuia fiind necunoscută. Este necesar din rezultatele observațiilor acestui eveniment într-un experiment pentru a estima probabilitatea p.
Pentru a rezolva această problemă, se efectuează o serie de teste independente și omogene - schema Bernoulli, adică Sunt realizate realizări independente ale aceluiași set de condiții. Se calculează numărul m (A) = m al încercărilor în care apare evenimentul A. atitudine
se numește frecvența evenimentului A într-o serie de încercări n sau probabilitatea sa statistică. Să analizăm proprietățile frecvenței p * ca o estimare a probabilității p.
1. Deoarece numărul de apariții ale evenimentului A în n teste independente și omogene este supus legii distribuției binomiale,
Rezultă din (3.3.2) că frecvența (3.3.1) este o estimare imparțială a probabilității p.
2. Conform teoremei lui Bernoulli
și anume frecvența p * converge în probabilitate la probabilitatea p. În consecință, frecvența considerată este o estimare consecventă a probabilității p.
3. Dispersia frecvențelor
unde q = 1 - p. Rezultă din (3.3.3) că pentru n ¥ dispers, varianța este 0. Aceasta înseamnă eficiența asimptotică a acestei estimări. Se poate demonstra că pentru orice n dispersia de frecvență este cea mai mică valoare posibilă, prin urmare p * este o estimare efectivă a p.
Astfel, frecvența p * a evenimentului A dintr-o serie de teste omogene independente este o valoare adecvată a probabilității sale, adică cea mai bună estimare punct.
Să investigăm calitatea estimării probabilității p de la frecvența ei p *. Deci, noi credem asta
A priori, numărul este aleator și este supus legii distribuției binomiale cu parametrii n. p. Conform teoremei lui Laplace-DeMoivre pentru n suficient de mare (practic np (1 p)> 9) distribuția binomială poate fi aproximată cu o precizie suficientă printr-o distribuție normală cu parametrii. În acest caz relația
Deoarece estimarea este legată de o relație liniară, ea va fi distribuită aproximativ în mod normal cu parametrii
Deoarece legea distribuției (3.3.4) a estimării este simetrică în raport cu probabilitatea estimată p. intervalul de încredere Ib, n (p) va fi simetric în raport cu estimarea. Pentru a determina acest interval, este suficient să cunoaștem jumătate din lungimea sa, egală cu eroarea maximă b (p) a erorii absolute e (p):
Ca rezultat, probabilitatea de încredere pentru p va fi determinată de următoarea ecuație:
Rezolvarea ecuației (3.3.5) cu privire la e, obținem
În expresia (3.3.6), cantitatea tb este cantitatea distribuției normale normalizate:
Valorile funcției tb sunt date în apendicele 4.
Dacă se dă precizia e și fiabilitatea b, atunci numărul nb, n al testelor necesare întreținerii lor se regăsește în ecuația (3.3.6):
Formulele (3.3.5) - (3.3.8) determină soluția de trei calitate de bază a problemelor de cercetare de estimare statistică (a se vedea § 3.2.) Aplicată la evaluarea probabilității unui eveniment aleator pe frecvența într-o serie de n testare omogene independente.
Din (3.3.8), că valoarea trebuincioasă eșantionului este invers proporțională cu pătratul maximă de estimare a probabilității de eroare e și proporțională cu pătratul funcției tb. care crește mai repede decât b. Prin urmare, pentru a estima probabilitatea unui eveniment aleator la frecvența sa cu suficientă precizie și fiabilitate, este necesară o serie destul de lungă de teste. Acest lucru este ilustrat în tabelul 3.1, care prezintă numărul de nevoile n0,95; teste electronice, oferind un nivel de încredere b = 0,95 e estimarea preciziei necesare probabilitate diferite valori p.
Dependența numărului de teste pe probabilitatea de încredere necesară
Din tabelul 3.1 reiese clar faptul că numărul este nevoie Nb; testele e crește nu numai cu creșterea preciziei de estimare neohodimo, dar, de asemenea, cu aproximare a valorii reale a probabilității estimate p la 0,5. Acest lucru este de înțeles, deoarece la p = 0,5 variația estimării = p * atinge o valoare maximă de 0,25 / n [cf. formula (3.3.3)]. Acest fapt este folosit pentru a determina limita superioară a numărului necesar de teste. Deci, presupunând că p = 0.5, b = 0.95, avem valoarea tb = t0.95 = 1.96 »2 (vezi apendicele 4). În conformitate cu expresia (3.3.8), obținem
Exemplul 3.1. În timpul experimentului s-au efectuat 200 de experimente, frecvența evenimentului A sa dovedit a fi p * = 0,34.
1. Construiește un interval de încredere de 85% pentru probabilitatea evenimentului A.
2. Gasiti probabilitatea de incredere b pentru probabilitatea evenimentului A. Daca eroarea maxima probabila este eb = 0.1.
▼ 1) Pentru b = 0,85 în apendicele 4, găsim tb = 1,439. Apoi, prin formula (3.3.6), estimarea erorii maxime probabile este
Găsim intervalul de încredere din relația (3.3.7)
I0,85; 200 "[0,34-0,048; 0,34 + 0,048] = [0,292; 0,388].
2) Folosind formula (3.3.5), găsim probabilitatea de încredere
Valoarea funcției Φ0 (x) este luată din apendicele 2.
Exemplul 3.2. Experimentele sunt efectuate în timpul experimentului, frecvența evenimentului fiind p * = 0,7.
1. Determinați dimensiunea eșantionului necesar astfel încât eroarea maximă probabilă în estimarea p * să fie e 0,05 pentru o probabilitate de încredere de b = 0,9.
2. Găsiți limita superioară a numărului necesar de experimente la orice frecvență a evenimentului.
▼ 1) Pentru o dată b, găsim tb = 1.643. Apoi, în conformitate cu formula (3.3.8), dimensiunea eșantionului necesar va fi
2) Din expresia (3.3.9) avem
[1] Pentru o evaluare părtinitoare, conceptul de eficiență nu este definit.
[2] Simboluri -, ¯ înseamnă creșterea și scăderea.