BAZA DE PROCESARE A REZULTATELOR
MĂSURĂRILE ȘI ERORI DE MĂSURĂRI
În fiecare lucrare de laborator la rata "Fizicii" elevul măsoară una sau mai multe cantități. Măsurarea se numește direct dacă cantitatea măsurată este direct comparată cu standardul. O astfel de comparație, de regulă, are loc cu ajutorul unui dispozitiv de măsurare. De exemplu, lungimea corpului este măsurată cu un micrometru sau etrier, curentul este măsurat cu ajutorul unui ampermetru etc. Rezultatul măsurării indirecte este o funcție cunoscută a cantităților obținute prin măsurători directe. În procesul de măsurare directă, se obțin un număr de observații x1. x2. .... xn din măsura x. Rezultatele observațiilor individuale conțin erori de măsurare și necesită prelucrare suplimentară. Tipuri de erori: aleatoare, sistematice, pierdute.
În prezența erorilor aleatorii, rezultatul unei observații separate xk a măsurandului x este o variabilă aleatoare. În acest caz, rezultatele observațiilor x1. x2. .... xn din aceeași cantitate x sunt diferite. Ca rezultat al măsurării, se ia media aritmetică a rezultatelor observațiilor:
Limita rezultatului măsurării pentru n® ¥ se numește așteptarea matematică m:
Variabila aleatoare x, care este rezultatul unei observații separate, poate fi specificată folosind funcția de distribuție f (x) (funcție de densitate de probabilitate):
unde dP este probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în interval
(x, x + dx) de lățime dx.
Dacă variabila aleatoare depinde de un număr mare de cauze care se schimbă necontrolat, atunci se supune distribuției sau distribuției normale a lui Gauss. Funcția de distribuție Gauss pentru o variabilă aleatoare x cu așteptarea matematică m este descrisă de formula:
unde este variația distribuției. Valoarea se numește deviația standard sau deviația rădăcină medie-pătrată. Graficul grafic al funcției de distribuție Gauss este prezentat în Fig.
Luând în considerare formula (1.3), probabilitatea P a rezultatului observării x în intervalul (x1, x2) este egală cu
Luați în considerare un interval în centrul căruia există o așteptare matematică m, iar jumătatea lățimii este egală cu
unde este un număr. Probabilitatea P de a observa o variabilă aleatoare x care respectă o distribuție normală într-un astfel de interval este dată de formula:
Calculul integralului din (1.6) arată că atunci când
kP = 1,0 probabilitate P = 0,68, adică 68% din rezultatele observațiilor se află în intervalul (). În consecință, pentru kP = 2.0, obținem P = 0.95, iar pentru kP = 3.0 probabilitatea P = 0.997.
Să presupunem că prezența unor erori aleatorii conduce la faptul că rezultatul observării x a cantității măsurate respectă distribuția normală. Experimentatorul nu cunoaște parametrii m și s ai acestei distribuții. În timpul măsurării, se obțin n observații: x1. x2. .... xn. și anume obțineți un eșantion de valori ale lui x din setul general de valori admisibile. Determinând rezultatul măsurării folosind formula (1.1), găsim o estimare a eșantionului pentru m. O estimare selectivă a dispersiei distribuției normale a rezultatelor observării se obține din
unde S (x) este o estimare a eșantionului deviației standard a rezultatului observării; n este numărul de observații.
Dacă rezultatul unei observații separate x este o cantitate aleatorie care se supune unei distribuții normale cu varianța D (x), atunci rezultatul măsurării. definită de formula (1.1), se supune, de asemenea, unei distribuții normale cu variație. În consecință, estimarea eșantionului deviației standard a rezultatului măsurătorii este
Teoretic, se arată că pentru fiecare probabilitate P (măsura de încredere) se poate construi un interval de încredere () că așteptarea unei variabile x aleatoare m va fi în interiorul acestui interval, cu o probabilitate de P. semilărgimea a intervalului de încredere definit de formula:
unde S () se găsește prin formula (1.8), a este coeficientul Studentului, a cărui valoare depinde de probabilitatea P și de numărul de grade de libertate n (vezi tabelul Anexei). Numărul de grade de libertate n este legat de numărul de observații n de formula :. Se poate demonstra că în formula (1.5) coeficientul
Dacă există numai erori aleatorii, se înregistrează un rezultat de măsurare :.
Mărimea unor erori sistematice poate fi determinată teoretic sau experimental. Astfel de estimări se numesc corecții. Rezultatele observațiilor sunt corectate de magnitudinea corecțiilor.
Dar există astfel de erori sistematice (de exemplu, eroarea dispozitivului de măsurare, eroarea de rotunjire etc.), care nu pot fi găsite sub forma unui amendament.
Eroarea dispozitivului de măsurare este specificată ca eroare limită sau absolută d sau eroare relativă g (clasa de precizie a instrumentului). Clasa de precizie g a dispozitivului este raportul de eroare procentual al instrumentului d exprimat ca procent din valoarea maximă xmax a cantității măsurate:
.
În special, pentru aparatele de măsură electrice, există opt clase de precizie: 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2.5; 4.0. Prin urmare, valoarea limită a erorii absolute:
.
Astfel, eroarea dispozitivului este dată sub forma unei valori limitative a lui d.
În cazul distribuirii normale, probabilitatea de observare a valorii lui x pentru care> 3s este de 0,3%, adică Abaterea lui 3s față de media poate fi considerată ca fiind valoarea 3s = d.
Apoi, luând în considerare formulele (1.5), (1.10) și (1.11), lățimea intervalului de încredere al erorii sistematice a dispozitivului poate fi scrisă sub forma:
Măsurarea face o eroare de rotunjire. Dacă valoarea scalei scării instrumentului este h, atunci limita de eroare de rotunjire este h / 2. Se poate demonstra că jumătatea lățimii intervalului de încredere asociată cu eroarea de rotunjire este determinată de formula
unde P este probabilitatea de încredere.
În unele cazuri, eroarea de măsurare este legată de reacția subiectivă a experimentatorului. De exemplu, atunci când se măsoară un interval de timp, un cronometru manual are ca rezultat o eroare cauzată de întârzierea reacției experimentatorului. Se poate arăta [5] că abaterea standard a reacției subiective cu.
În conformitate cu formula (1.5), jumătatea lățimii intervalului de încredere este
Blocările apar ca urmare a erorilor brute ale experimentatorului sau a funcționării defectuoase a dispozitivului de măsurare. În aceste cazuri, de regulă, rezultatul observării este foarte diferit de celelalte rezultate, care sunt folosite pentru a detecta gloanțele. Metoda cea mai simplă este denumită "regula 3s" sau "regula 3S ()".
Dacă rezultatul unei observații particulare este o cantitate aleatorie care satisface o distribuție normală, probabilitatea apariției unui rezultat de observație care diferă de așteptarea matematică m cu o valoare care depășește 3s este P = 0,0027. Acest site este mult mai probabil că apariția acestui rezultat este observarea alunecare. Valorile lui m și s sunt luate ca estimări ale probelor <х> și S (<х>), definit prin formulele (1.1) și (1.7). În literatura de specialitate [4,7] sunt prezentate și alte metode de detectare a problemelor. Erori detectate nu sunt luate în considerare la obținerea rezultatului măsurătorii.
Când se procesează rezultatele măsurării directe, se recomandă următoarea secvență de acțiuni:
1. Rezultatele obținute din observațiile măsurării directe sunt corectate cu suma corecțiilor (estimări ale unor erori sistematice). Pierdurile și pierderile ratate.
2. Folosind formula (1.1), obținem rezultatul măsurătorii <х>.
3. Dacă rezultatele observațiilor individuale sunt diferite, atunci prin formula (1.9) se obține jumătate de lățime Dxl a intervalului de încredere al erorilor aleatorii. În prealabil, folosind formula (1.8), determinăm estimarea esantionului S (<х>) a deviației standard a rezultatului măsurătorilor și conform tabelului Anexei se găsește coeficientul de încredere al studenților P și numărul de grade de libertate (n este numărul de observații).
4. Prin formulele (1.12), (1.13), (1.14) se determină jumătatea lățimii intervalelor de încredere a erorilor sistematice neacceptate. Lungimea intervalului de încredere Dx rezultată este calculată prin formula:
Dacă în formula (1.15) compararea valorii minime Dxmin cu valoarea maximă Dxmax arată Dxmin <0,3 Dхмакс. то меньшей величиной Dхмин можно пренебречь.
5. Rezultatul măsurării directe este înregistrat sub forma unui interval de încredere:
Lungimea intervalului de încredere Dx este uneori numită eroare absolută, dar este eroarea relativă a cantității măsurate x.
Pentru o măsurare indirectă, cantitatea necunoscută r este o funcție cunoscută
variabilele x, y, ..., z, obținute experimental cu ajutorul măsurătorilor directe. Dar măsurătorile directe nu determină cu exactitate așteptările matematice ale cantităților măsurate. Cu o anumită probabilitate P, așteptările matematice aparțin intervalelor de încredere:
Folosind ca variabilă x rezultatul măsurătorii
,
Dacă Dx este o cantitate mică în comparație cu x.
În cazul mai multor variabile independente x, y, ..., z rezultatul calculului r prin formula (1.17) duce la o eroare maximă
care poate fi considerată ca jumătate de lățime a intervalului de încredere de r. Formulele (1.17) și (1.18) determină rezultatul unei măsurări indirecte: