Să presupunem că, în fiecare perioadă, încasările de numerar apar foarte des, astfel încât intervalele dintre încasările consecutive sunt infinite. Exemplele includ plăți de asigurare, venituri din vânzări într-o mare întreprindere comercială etc. În acest caz, puteți vorbi despre obținerea continuă a venitului și a stabili o anuitate continuă.
Să considerăm cea mai simplă situație, atunci când fluxurile de numerar au loc în mod continuu, la o rată constantă: același număr de încasări pe unitatea de timp. O astfel de anuitate continuă numită constantă și care caracterizează relația poate fi derivată din formulele de rentă p -srochnogo, ele se deplasează la limita și mai multe modificatoare membru velichinuS anuitate. Este clar că cantitatea S nu poate curge continuu. prin orice perioadă mică de timp acumula cantități infinit de mare de bani și valoarea viitoare a unei rente va crește la infinit. La sfârșitul fiecărei perioade de bază a rentei p-zi, suma totală a încasărilor în numerar este Ā. fiecare sosire este egală, iar formula (4.4) ia forma:
.
De aici vom obține o formulă pentru estimarea valorii viitoare a unei anuități permanente permanente:
Folosind raportul pentru prenumerando anuitate, am obține aceeași formulă, deoarece în cazul continuu, distincția dintre anuitățile postnumerando și prenemerando dispare.
Valoarea actuală a unei anuități continue va fi:
Sarcina. În termen de 6 ani, banca va primi aceleași plăți în fiecare zi, în fiecare an în valoare de 40.000 de ruble. Determinați suma acumulată până la sfârșitul celui de-al șaselea an când utilizați rata dobânzii de 12% pe an.
Credem că plățile sunt primite în mod continuu.
Să comparăm această valoare cu cea obținută prin formula (4.4), presupunând că există 360 de zile într-un an:
Valorile obținute diferă nesemnificativ.
Sarcina. Un anumit depozit de minerale va fi dezvoltat în termen de 8 ani, în timp ce se așteaptă ca veniturile din exploatarea pe teren să fie în medie de 300 de milioane de ruble. pe an. Estimați valoarea actuală a venitului așteptat utilizând o rată a dobânzii compuse de 20% pe an și presupunând că transportul și vânzarea produselor vor fi continue și uniforme.
Ca o primă aproximare, fluxul de numerar primit poate fi considerat ca o anuitate permanentă post-numerando cu C = 300 milioane, cu o perioadă de n = 8 și o perioadă de 1 an.
În funcție de condiția problemei, vom obține un rezultat mai precis, presupunând că în fiecare an, în fiecare an, venitul va fi (milioane de ruble). Setarea C = 75, p = 4, n = 8, i = 20%, obținem:
Deoarece se presupune că implementarea este uniformă, este mai bine să presupunem că venitul vine zilnic. Cea mai ușoară cale nu este de a rupe anul în perioade egale de timp, ci de a socoti fluxul de venit ca o anuitate continuă continuă cu o intensitate Ā = 300 milioane ruble. pe an:
Din calculele de mai sus, se vede clar cum crește valoarea valorii reduse cu reducerea perioadei dintre încasările în numerar.
Dacă dobânda se plătește de m ori pentru o perioadă, atunci din (4.5) obținem formulele:
Trecând pe partea dreaptă a lui (7.3) până la limită, găsim valoarea viitoare a unei anuități continue continue:
unde δ este forța de creștere cu accrual continuu de interes.
Formula (7.5) poate fi obținut prin (4.5), determinarea limitelor de început pentru (adică, trece printr-un calcul interes continuu), apoi definind limita (adică. Mergând la încasările în numerar continue).
Înmulțind cu, obținem valoarea actuală a unei anuități constante continue cu o acumulare continuă de interes:
Valoarea actuală a perioadei amânate a h pe o anuitate continuă va fi:
Sarcina. Compania se așteaptă să primească 100 000 de ruble pentru vânzarea produselor sale pe parcursul anului. Se presupune că produsele vor fi vândute, mai mult sau mai puțin, pe tot parcursul anului. Estimați încasările de numerar așteptate dacă se aplică o rată continuă de 15% pe an.
Întrucât condiția se referă la o distribuție mai mult sau mai puțin uniformă a vânzărilor pe parcursul anului, este logic să presupunem că intensitatea fluxului de venit va fi într-o oarecare măsură o valoare constantă de 100.000 de ruble. pentru anul. Considerând că încasările în numerar sunt continue, vom determina viitorul și costul redus al anuității continue:
La determinare, ați putea folosi valoarea deja găsită:
* Fluxul de numerar continuu.
Am analizat cazul în care încasările de numerar au o intensitate constantă. Vom discuta o situație mai generală. Să considerăm intervalul de timp și să denotăm chitanța monetară care apare la momentul t. Apoi, în timp, creșterea încasărilor în numerar va fi de -, iar rata medie de schimbare a valorii încasărilor în numerar pentru timpul va fi. Această sumă se numește intensitatea medie a încasărilor de numerar (fluxul de lichidități) din diferența. Intensitatea fluxului instantaneu la momentul t poate fi definită ca limita medie a intensității la:
.
Valoarea se numește intensitatea fluxului de numerar la momentul t.
Să fie cunoscută intensitatea fluxului de numerar. Împărțim punctele pe întreaga perioadă pentru un număr mare de intervale. Indicăm diferența de timp a încasărilor în numerar într-o perioadă scurtă de timp, putem presupune că suma încasărilor în numerar în acest interval este aproximativ egală. Dacă folosiți o rată a dobânzii compuse. atunci valoarea aproximată a valorii reduse a fluxului de numerar la momentul t = 0 este egală cu:
.
Această expresie este o sumă integrală, prin urmare, trecând la ea în limita pentru, avem:
Dacă în locul ratei dobânzii i se folosește forța de creștere δ. atunci, presupunând că avem:
Valoarea viitoare a fluxului de numerar continuu în cazul aplicării ratelor i și δ, respectiv este:
În practică, pentru a evalua încasările de trezoreri virtuale (foarte des), ele sunt aproximate de unele, de regulă, de funcții continue. Adesea, este posibil să se utilizeze funcții lineare și exponențiale.
Dacă veniturile în timp au aceeași schimbare absolută (creștere sau scădere), atunci ele reprezintă o funcție liniară
=
Dacă veniturile au o schimbare relativă constantă, atunci se recomandă să scrieți în formular
=.
Sarcina. Calculele arată că, ca urmare a costurilor de investiții, un flux continuu de venituri, care crește liniar în timp și crește anual cu 60 de milioane de ruble, va fi furnizat timp de 6 ani. Evaluați valoarea posibilă a investiției în condițiile aplicării unei rate a dobânzii compuse de 20% pe an.
Pentru a determina valoarea costurilor de investiție, puteți găsi valoarea curentă a fluxului de venituri. Deoarece intensitatea fluxului este exprimată printr-o funcție liniară, pe an,.
În cazul în care costurile de investiții sunt mai mici de 539.236 milioane ruble. atunci este posibilă participarea la proiect.
Definiți valoarea viitoare a fluxului de venituri:
În general, fluxul într-un interval de timp poate avea o viziune mixtă: unele plăți de închiriere sunt primite discret și, la anumite intervale, primirea plăților poate fi considerată continuă. Valoarea actuală a unui astfel de flux de numerar mixt este determinată de o combinație a formulelor corespunzătoare.
* Luați în considerare un exemplu de chirie continuă din practică. Dar să notăm mai întâi valoarea chiriei continue definitive, presupunând că banii sunt introduși neuniform. Să considerăm intervalul de timp în n ani și în intervalul de timp suma este introdusă, unde există o anumită funcție reală. Apoi, costul redus și viitor al unei astfel de chirii pe interval poate fi scris în forma:
.
Să presupunem că secțiunea principală a unui drum mare cu 8 benzi este "autoportantă". Și toate fondurile provenite de la utilizatorii rutiere în aceeași zi sunt transferate la un cont pe termen lung cu o rată constantă. În această situație, fără prea multă presiune, putem presupune că banii vin în continuu. Punctele de colectare a plății călătoriei pe o secțiune de 200 de kilometri pe o autostradă de circa 100 și în fiecare interval de timp în care acest punct ar trebui, de asemenea, să enumere mijloacele colectate. Astfel, banii care sosesc la contul în cauză la un moment dat reprezintă o mică parte din suma totală colectată pentru această zi, iar momentele de transfer sunt destul de dens distribuite pe parcursul zilei.
Să încercăm să determinăm aproximativ veniturile provenite din exploatarea acestui drum în următoarea aniversare a 10-a, adică valoarea chiriei corespunzătoare. Să presupunem că pentru următorii 10 ani:
rata anuală a băncii va rămâne constantă la nivelul i = 0,04;
costul de 1 tonă-km va fi, de asemenea, același și egal cu 0,1;
creșterea cifrei de afaceri a mărfurilor în funcție de timp poate fi determinată de o funcție;
în plus, este cunoscută o estimare a cifrei de afaceri totale a mărfii pentru ultimul an: 1 milion de tone-km.
Din moment ce rata aleasă corespunde δ = 0,0392, găsim costul actual și viitor al chiriei pentru 10 ani:
Notă. Poate că este mai naturală situația în care presupunerea creșterii cifrei de afaceri a mărfurilor rămâne aceeași, dar nu există date referitoare la aceasta în ultimul an. În acest caz, acestea pot fi înlocuite, de exemplu, de estimarea cifrei de afaceri pentru primul an următor, adică de valoarea b. Apoi nimic practic nu se schimbă. Numai preliminar este necesar să se găsească o cantitate absentă din cifra de afaceri a mărfii pentru anul trecut pe b din ecuație
,
folosind, de exemplu, relația cunoscută