Funcția divizor

pătratul: σ0 (n) este ciudat; gradul 2: s (n) = n-1 (aproape perfect)

Cazuri Imposibil de analizat expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): X = 2. Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți matematica / README pentru ajutor pentru configurare.): X = 3 și așa mai departe sunt în ordinea A001157. A001158. A001159. A001160. A013954. A013955 ...

Pentru numere întregi care nu sunt pătrate, fiecare divizor d al numărului n are un divizor n / d, ceea ce înseamnă că este imposibil să analizăm expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sigma_ (n) este întotdeauna chiar și pentru astfel de numere. Pentru pătrate, un divizor, și anume, este imposibil să analizăm o expresie (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sqrt n. nu are o pereche, deci pentru ei Este imposibil să analizăm o expresie (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor de configurare.): \ Sigma_ (n) este întotdeauna ciudat.

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Begin \ sigma_0 (p) = 2 \ sigma_0 (p ^ n) = n + 1 \\ sigma_1 (p) = p + 1 \ capăt

deoarece, prin definiție, un număr prime este divizibil doar de unul singur și de el însuși. Dacă pn # înseamnă un primitiv.

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți matematica / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sigma_0 (p_n \ #) = 2 ^ n

În mod clar, este imposibil să analizăm o expresie (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math / README pentru ajutor pentru configurare.): 1 <\sigma_0(n) texvc nu a fost găsit; Vedeți matematica / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sigma (n)> n pentru toți Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math / README pentru ajutor pentru configurare.): N> 2.

Dacă scriem

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): N = \ prod_ ^ r p_i ^.

unde r = ω (n) este numărul de divizori prime ai lui n. pi este al i-lea prim divizor și ai este puterea maximă a lui pi. la care n este divizibil.

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math / README - pentru setarea de referință): .. \ Sigma_x (n) = \ prod_ ^ r \ sum_ ^ p_i ^ = \ prod_ ^ r (1 + p_i ^ x + p_i ^ + \ cdots + p_i ^).

Dacă setăm x = 0, obținem că d (n) este egal cu:

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sigma_0 (n) = \ prod_ ^ r (a_i + 1).

De exemplu, numărul n = 24 are doi factori simpli - p1 = 2 și p2 = 3. Deoarece 24 este un produs de 2 3 × 3 1 atunci a1 = 3 și a2 = 1.

Acum putem calcula Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sigma_0 (24).

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Begin \ sigma_0 (24) = \ prod_ ^ (a_i + 1) \\ = (3 + 1) (1 + 1) = 4 \ ori 2 = 8

Cei opt divizori ai numărului 24 sunt 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 și 24.

Rețineți, de asemenea, că s (n) = σ (n) - n. Aici s (n) denotă suma divizoarelor corespunzătoare ale numărului n. adică divizori, cu excepția numărului n însuși. Această funcție este utilizată pentru a determina perfectitatea numărului - pentru ei, s (n) = n. Dacă s (n)> n. n este numit redundant. și dacă s (n)

Dacă n este o putere de doi, adică nu puteți parsa o expresie (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): N = 2 ^ k. Este imposibil să analizăm expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea matematica / README - pentru a configura un certificat): .. \ Sigma (n) = 2 \ 2 ori ^ k - 1 = 2n - 1, și s (n) = n - 1. Făcându-n aproape perfect.

De exemplu, pentru două simple p și q (unde p

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): N = pq.

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math / README - pentru a configura un certificat): .. \ Sigma (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q), a eșuat pentru a analiza (fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math / README pentru ajutor de configurare.): \ Phi (n) = (p-1) (q-1) = n + 1 -

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți matematica / README pentru ajutor pentru configurare.): N + 1 = (\ sigma (n) + \ phi (n)) / 2, texvc nu a fost găsit; Consultați math / README pentru ajutor pentru configurație.): P + q = (\ sigma (n) - \ phi (n)

Apoi rădăcinile p și q ale ecuației:

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math / README - pentru a configura un certificat): .. (Xp) (xq) = x ^ 2 - (p + q) x + n = x ^ 2 - [(\ sigma (n) - \ phi (n)) / 2] x + [(\ sigma (n) + \ phi (n)) / 2-1] = 0

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; . A se vedea matematica / README - pentru a configura un certificat) :. P = (\ sigma (n) - \ phi (n)) / 4 - \ sqrt, nu a putut fi analizat (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): Q = (\ sigma (n) - \ phi (n)) / 4 + \ sqrt.

Cunoscând n și fie σ (n) fie φ (n) (sau cunoscând p + q și fie σ (n) sau φ (n)), putem găsi cu ușurință p și q.

În 1984, Heather-Brown (Roger Heath-Brown) a demonstrat acest lucru

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sigma_0 (n) = \ sigma_0 (n + 1)

se întâmplă infinit de multe ori.

Relația cu seriile

Două rânduri de Dirichlet. utilizând funcția de separatoare:

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sum _ ^ \ infty \ frac = \ zeta (s) \ zeta (s-a)

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sum _ ^ \ infty \ frac = \ zeta ^ 2 (s),

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sum _ ^ \ infty \ frac = \ frac.

Seria Lambert. utilizând funcția divizor:

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți matematica / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Sum _ ^ \ infty q ^ n \ sigma_a (n) = \ suma _ ^ \ infty \ frac

Rata de creștere asimptotică

În termeni de o-mici. funcția divizorului satisface inegalitatea (vezi pagina 296 din cartea Apostolului # 91; 6 # 93; )

pentru toate Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Epsilon> 0, \ quad d (n) = o (n ^ \ epsilon).

Severin Wiegert a dat o estimare mai exactă

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Limsup_ \ frac = \ log2.

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Liminf_ d (n) = 2.

În ceea ce privește O-grozav. Dirichlet a arătat că ordinea medie a funcției divizorului satisface următoarea inegalitate (vezi Teorema 3.3 din cartea Apostolului p)

pentru toate Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; . A se vedea math / README - configurare certificat): x \ geq1, \ sum_d (n) = x \ log x + (2 \ gamma-1) x + O (\ sqrt) ,.

unde expresia nu poate fi analizată (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Gamma - Euler constant - Mascheroni.

Sarcina de îmbunătățire a frontierei Este imposibil să analizăm expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți matematica / README pentru ajutorul de configurare.): O (\ sqrt) în această formulă este problema Dirichlet a divizoarelor

Comportamentul funcției sigma este neuniform. Rata de creștere asimptotică a funcției sigma poate fi exprimată prin formula:

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ Limsup_ \ frac = e ^ \ gamma,

= e ^,

În 1915, Ramanujan a dovedit că atunci când ipoteza lui Riemann este satisfăcută, inegalitatea

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ \ Sigma (n)

pentru toate sunt suficient de mari n # 91; 8 # 93; În 1984, Guy Robin a demonstrat că inegalitatea este valabilă pentru toate n ≥ 5041 dacă și numai dacă ipoteza lui Riemann este adevărată # 91; 9 # 93 ;. Aceasta este teorema lui Robin, iar inegalitatea a devenit cunoscută după demonstrarea teoremei. Cel mai mare număr cunoscut care rupe inegalitatea este n = 5040. Dacă ipoteza Riemann este corectă, atunci nu există numere mai mari decât aceasta și încălcarea inegalității. Robin a arătat că dacă ipoteza este greșită, există numere infinit de multe n. încălcând inegalitatea și se știe că cel mai mic dintre aceste numere n ≥ 5041 ar trebui să fie un număr supraponderal # 91; 10 # 93; S-a arătat că inegalitatea este valabilă pentru numere mari impare și pătrate și că ipoteza lui Riemann este echivalentă cu împlinirea inegalității pentru toate numerele n. divizibilă de a cincea putere a unui număr prime # 91; 11 # 93;

pentru orice număr întreg pozitiv n. unde expresia nu poate fi analizată (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți matematica / README pentru ajutor pentru configurare.): H_n este numărul n armonic # 91; 12 # 93;

Robin a demonstrat inegalitatea

Nu se poate parsa expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math / README pentru ajutor pentru configurare.): \ \ Sigma (n)

este îndeplinită pentru n ≥ 3 fără condiții suplimentare.

Scrie o recenzie pentru "Dividers Function"

notițe

Articole similare

• Cel mai mare divizor comun al nodurilor

• Disfuncție tiroidiană tranzitorie

• Întrebarea unui angajat care îndeplinește funcțiile unui stăpân și a unui stoker lucrează în cadrul unui contract în România