Capitolul 2. Teoria matematică a consumului
Elementele primare ale economiei sunt bunurile și participanții. Sub mărfurile se înțelege tot ceea ce este subiectul tranzacțiilor într-o anumită societate, inclusiv serviciile. Fiecare participant la economie acționează simultan în calitate de cumpărător și vânzător de bunuri. Luați în considerare comportamentul unui anumit participant în economie ca consumator de bunuri. Această sarcină este considerată din punctul de vedere al distribuirii raționale a bugetului personal (venituri) al consumatorului, care în cele din urmă se ridică la stabilirea cantității din fiecare produs disponibil pe care trebuie să îl achiziționeze la prețuri și venituri cunoscute.
Pentru a obține un model matematic al sarcinii clientului, este necesar să se formalizeze concepte precum bunurile, scopul consumului de bunuri, prețul bunurilor, bugetul și puterea de cumpărare a consumatorului.
Vom presupune că cantitatea fiecărui produs poate fi măsurată printr-un număr real negativ (în bucăți, în kilograme, în metri, în litri, în ore de om etc.). Lăsați piața să producă și să vândă tipuri de bunuri. Tipul de bunuri va fi indicat de indice. Indicați după cantitatea elementului. Un vector va fi numit o colecție de bunuri. Dacă este în set pentru unii. atunci vom spune că bunurile din specie nu sunt achiziționate de consumatorul dat. Un set este numit spațiu de mărfuri. Rețineți că cantitatea de bunuri nu este superimpusă. Cu alte cuvinte, presupunem că pe piață există un număr suficient de bunuri. Uneori este alocat un subset. ca o mulțime de bunuri cu adevărat aplicate, pe care sunt determinate interesele consumatorului respectiv. În seturi de mărfuri pot fi adăugate împreună sau înmulțite cu un număr nonnegativ; în scădere este imposibilă, dacă în acest caz se obține o cantitate negativă a produsului. O persoană dobândește (cumpără) bunuri pentru a maximiza satisfacerea nevoilor sale. Fiecare are propriile gusturi, fiecare în felul său evaluează folosirea sau rănirea consumului de bunuri. Prin urmare, consumatorul tinde să aleagă în spațiu produsul "cel mai bun" din punct de vedere individual. Atunci când se compară două seturi și una preferă. altele -.
Pentru a formaliza alegerea consumatorului, luând în considerare scopul său, în spațiu vom defini relația (preferință individuală) de preferință. marcat cu un simbol. Cu această relație, orice set poate fi comparat cu alt set. Înregistrarea înseamnă că este preferabil să. fie seturile, cât și pentru consumatori sunt indiferenți. Rețineți că în raport cu un set de bunuri este considerat un întreg (spre deosebire de inegalitatea vectorilor, înțeleasă în mod component).
Preferința strictă are loc dacă și numai dacă. dar este nedrept. Ei spun că seturile sunt indiferente față de consumatorul dat (denotă) dacă și numai dacă și. Atitudine individuală
poate fi privită ca o cartografiere care atribuie fiecărui set mulțimea acelor seturi de bunuri care sunt legate de relația indiferenței. Astfel, atitudinea indiferenței împarte întregul spațiu în clase de echivalență (indiferență).
Plecând de la logica comparării bunurilor, cerem ca relația să satisfacă următoarele axiome:
a1) reflexivitatea. pentru că orice este adevărat;
a2) tranzitivitate. pentru oricine. astfel încât este adevărat;
a3) completitudinea. pentru oricare dintre ele. fie. fie.
În plus, axioma simetriei este valabilă pentru relația de indiferență:
Să dăm exemple de atitudini specifice de preferință și de indiferență.
Exemplul 2.1. Pentru compararea oricăror seturi, vom pre-ordona clasificarea componentelor acestor vectori (adică tipurile de bunuri) în importanță pentru consumatorul dat: bunurile speciei sunt mai importante decât mărfurile speciei. După aceea, definim raportul după cum urmează :. dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
Această atitudine se numește preferință lexicografică. deoarece este determinată de regula de compilare a unei liste de nume în ordine alfabetică. Se poate demonstra că relația de preferință lexicografică satisface axiomul 1), a2), a3).
Exemplul 2.2. Lasă-l să fie. dar un set astfel încât pentru fiecare să existe cel puțin un indice. pentru care. Pentru un astfel de set, definim relația de indiferență după cum urmează :. dacă nu există un loc pentru toată lumea. și cel puțin o inegalitate este strictă.
Această relație de indiferență generează într-un set de echivalență numit setul Pareto.
Relația de preferință în practică este dezvăluită experimental, prin compararea seturilor de mărfuri în perechi și prin interogarea consumatorului, pe care le-a preferat. De fapt, o astfel de muncă se poate face în cazul unui număr mic de bunuri. Preferința consumatorului este variabilă și depinde de multe condiții: prețul produsului, venitul, stocul de bunuri, sezonul, sănătatea, starea de spirit etc. Prin urmare, nu putem stabili o dată pentru totdeauna principiile preferențiale ale consumatorului. Prin urmare, în cazul modelării repetate a comportamentului consumatorului, preferința sa trebuie să fie formalizată din nou, ținând cont de condițiile schimbate. În principiu, nu este nimic dificil să se ia două seturi de bunuri și să se ceară consumatorului, care dintre ele preferă și, ca rezultat al unui sondaj coerent, să găsească modelul dorit. Este mult mai dificil să se identifice preferința unui întreg grup de oameni sau a societății, deoarece este imposibil ca fiecare pereche de seturi de bunuri să efectueze un vot sau un referendum și se așteaptă ca rezultatele să fie lipsite de ambiguitate.
În plus față de axiomele de bază a1), a2), a3) relația de preferință poate avea un număr de proprietăți semnificative, de exemplu:
a4) continuitate. pentru orice set este un subset deschis al produsului cartezian;
a5) nesaturare. pentru că oricare dintre inegalitățile rezultă din inegalitățile. ar trebui;
a6) convexitate. pentru oricare dintre relații urmează. în cazul în care.
Continuitate substanțială înseamnă că, dacă este strict preferată. apoi cu o mică schimbare în fiecare dintre ele se păstrează raportul de preferință strictă. Semnificația acestei proprietăți este aceea că o relație preferențială continuă poate fi înlocuită (modelată) printr-o funcție numerică obișnuită. Un exemplu de relație de preferință care nu are proprietatea continuității este preferința lexicografică.
Dacă toate bunurile sunt de bună calitate, atunci, în mod firesc, mai multe dintre ele vor fi preferabile față de mai puțin. Acest fapt se reflectă în proprietatea nesaturării. Aceasta înseamnă absența unui astfel de set. pentru toate (fără punct de saturație).
Convexitatea unei relații de preferință înseamnă că dacă un set este preferabil unui set. atunci orice combinație dintre acestea este mai preferabilă decât.