Printr-o transformare înțelegem o cartografiere a setului pe sine. Cu alte cuvinte, transformarea este o regulă, conform căreia fiecare element al setului este asociat cu un element al aceluiași set.
Transformarea unui plan (spațiu) se numește afină. dacă există două sisteme de coordonate afine astfel încât coordonatele oricărui punct din primul sistem de coordonate să coincidă cu coordonatele imaginii sale în cel de-al doilea sistem de coordonate.
Transformarea afinică poate fi considerată ca o aplicare secvențială (compoziție) a două mapări:
- Punctul este pus în corespondență cu coordonatele relative la primul sistem de coordonate;
- Coordonatele obținute corespund punctului relativ la cel de-al doilea sistem de coordonate.
Fie f o transformare afină. Considerăm vectorul A B → >> în primul sistem de coordonate și f (A) f (B) → >> în al doilea. Deoarece coordonatele unui vector sunt definite ca diferența dintre coordonatele capătului și origine și coordonatele punctelor A și f (A). B și f (B) sunt egale în sistemele de coordonate corespunzătoare, atunci vectorul f (A) f (B) → >> are aceleași coordonate față de cel de-al doilea sistem de coordonate ca vectorul A B → >> față de primul.
Astfel, în definirea unei transformări afine, vectorii ar putea fi considerați în locul punctelor.
Fie primul sistem de coordonate dat de cadrul lui O e 1 e 2 e 3 _ \ mathbf _ \ mathbf _>. V vectorii de bază au fost amânați din punctul O pentru a determina anumite puncte M i>. Apoi, evident, cel de-al doilea sistem de coordonate este definit de cadrul O 'e 1' e 2 'e 3' '_ \ mathbf' _ \ mathbf '_>. unde O '= f (O). e 1 '= 0' f (M1) →. e2 '= O' f (M2) →. e 3 '= O' f (M 3) → '_ =) >>, \ mathbf' _ =) >>, \ mathbf '_ =) >>>.
Conversia coordonatelor punctului Editați
Luați în considerare sistemul definit prin punctele lor de referință O e 1 e 2 e 3 _ \ _ mathbf \ mathbf _> și O 'e 3' 'e 1' e 2 '_ \ mathbf' _ \ mathbf „_> coordona două afin. Fie coordonatele punctului O 'și vectorii de bază ale celui de-al doilea cadru în raport cu primul sistem de coordonate exprimate după cum urmează:
Luați în considerare un punct arbitrar M. Fie coordonatele sale în primul și al doilea sistem de coordonate (x, Y. Z) și, respectiv, x ', Y'. Să determinăm modul în care aceste coordonate sunt legate între ele. în mod evident,
Deoarece vectorii de bază sunt independenți liniar, matricea de transformare a coordonatelor trebuie să fie nondegenerată (determinantul nu este egal cu zero).
Conversia coordonatelor vectoriale Editați
Fie vectorul cu coordonate relative la primul sistem de coordonate a =
Astfel, coordonatele vectorului O M → >> în sistemul de coordonate transformat
Se consideră că o transformare afină este izometrică. dacă păstrează distanțele dintre puncte.
Luați în considerare toate cele trei puncte A. B. C. care nu se află pe o linie. Să presupunem că punctele A '. B '. C "sunt obținute de la acestea printr-o transformare izometrică. Deoarece distanța dintre puncte nu sa schimbat, atunci △ A B C = △ A 'B' C 'Rezultă că transformarea izometrică nu modifică unghiurile dintre linii.
Matricea de transformare izometrică este ortogonală.
Fie f - transformarea izometric, A - matricea sa, O e 1 e 2 e 3 _ \ _ mathbf \ mathbf _> - afin sistem de coordonate, în care vectorii de bază au unitate de lungime.
Vectorii de bază ale sistemului de coordonate transformat, în mod evident, egal cu e i '= Ae i' _ = A \ mathbf _>. Deoarece transformarea perspectivă nu se schimbă unghiurile, e i '⋅ e j' = e i ⋅ e j '_ \ cdot \ mathbf' _ = \ mathbf _ \ cdot \ mathbf _>. Ne transformăm
ei '⋅ ej' = (A ei) ⋅ (A ej) = (A EI) TA ej = ei TATA ej = ei ⋅ ej = ei T '_ \ cdot \ mathbf' ej _ = (A \ mathbf _) \ cdot (A \ mathbf _) = (A \ mathbf _) ^ O \ mathbf _ = \ mathbf _ ^ A ^ A \ mathbf _ = \ mathbf _ \ cdot \ mathbf _ = \ mathbf _ ^ \ mathbf _>
unde G este matricea ortogonală 2 × 2.
În plus, este necesar să se ia în considerare mai multe cazuri
- de G = 1. Apoi G = [cos φ - sin φ sin φ cos φ] \ cos \ varphi - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi \ cos \ varphi \ end >>
- φ = 0
- Dacă det A = 1. atunci matricea A corespunde transportului paralel (un caz special de rotație a șuruburilor)
- Dacă det A = -1. apoi prin intermediul unei schimbări, ca în teorema anterioară, se dovedește că transformarea este o simetrie glisantă.
- Dacă φ ≠ 0. atunci putem găsi un punct fix (0 y *, z *), z _)>. prin intermediul unei deplasări spre el, se dovedește că transformarea este o rotire în șurub sau oglindă în funcție de semn.
- φ = 0
- det G = -1
Astfel, matricea originală este redusă la unul din cele două tipuri