Lucrând în clasa a 11-a, am observat că elevii consideră dificilă aplicarea integrală a acestor scopuri, întrebându-se dacă este posibil într-un alt mod. Bineînțeles că poți. Una dintre opțiuni este formula lui Simpson. (Simpson Thomas (1710-1761) - matematician englez)
Cum? Permiteți-mi să dau o ordine posibilă de a studia teoria:
1. Conceptul de volum. Proprietățile volumelor. (LS Atanasyan).
2. Volumul unui paralelipiped dreptunghiular (LS Atanasyan).
3. Formula pentru calcularea volumului de corpuri care utilizează un integral integrat (LS Atanasyan, dar numai pentru a introduce formula în sine, este utilă doar pentru punctul următor).
4. Volumul piramidei.
a) Dovediți ca piramidele triunghiulare cu baze egale și înălțimi egale să fie egale (acest lucru se poate face cu ușurință, de exemplu, utilizând aceeași formulă pentru calcularea volumelor corpului utilizând un integral integrat);
b) formula volumul unei piramide triunghiulare având trei muchii reciproc perpendiculare, care provin de la un nod (deduce „complementară“ unei piramide triunghiulare de paralelipiped dreptunghiular);
c) Formula pentru volumul unei piramide triunghiulare arbitrare (pe baza a);
d) Formula pentru volumul unei piramide arbitrare (împărțiți o piramidă arbitrară în piramidele triunghiulare).
5. Prizmatoid. Formula lui Simpson.
6. Derivarea formulelor pentru volumele tuturor celorlalte corpuri folosind formula Simpson, inclusiv volumul părților mingii.
De exemplu, derivarea formulei pentru volumul unui segment sferic:
Acest studiu al teoriei eliberează timp pentru rezolvarea problemelor. Elevii interesați se referă la faptul că o formulă vă permite să scoateți toate celelalte, că este suficient să vă amintiți numai ea. Și dacă uitați unele altele, atunci este ușor de obținut de la formula Simpson. Apropo, această formulă este de asemenea discutată în Ya.I. Perelman "Geometrie de divertisment".
Iată un extras din cartea pe care am menționat-o mai sus. Bavrina, V.A. Sadchikova "Noi probleme în stereometrie" cu dovada formulării Simpson pentru prismatoid.
"Prismatoidul este un polyhedron, toate nodurile fiind situate pe două planuri paralele. Fețele situate pe aceste planuri sunt numite bazele prismatoidului.
Nu ar fi contrar prismatoid definiția în cazul în care un poliedru, în care bazele superioare și inferioare sunt poligoane opuse cu părțile laterale - triunghiuri, vom numi prismatoid.
În figură, poligonul A1 A2 A3. An - baza superioară a prismatoidului, zona acestei baze va fi notată de Sv; poligonul B1 B2 B3 ... Bm este baza inferioară a prismatoidului, aria acestei baze este notată cu Sn; poligonul C1 C2 C2. Ck este secțiunea medie a prismatoidului, zona acestei secțiuni este notată de Scp; înălțimea prismatoidului va fi notată cu H.
Este clar că planul secțiunii medii a prismatoidului va intersecta marginile laterale la punctele lor medii, adică limita secțiunii medii trece de-a lungul liniilor mediane ale fețelor laterale ale prismatoidului. Deoarece planul secțiunii medii este paralel cu bazele prismatoidului, acest avion trece de asemenea prin mijlocul înălțimii H a prismatoidului, care se reflectă în figură sub forma a două distanțe H / 2.
Determinarea formulei lui Simpson. În planul secțiunii medii, C1C2C3. Ck alegem un punct arbitrar P. Legăm acest punct cu toate vârfurile prismatoidului. Ca rezultat, punctul P poate fi considerat ca un vârf comun al setului de piramide. Prismatoidul poate fi considerat o combinație a trei tipuri de piramide:
1) piramide cu vârful P și baza A1 A2 A3. AN.
2) piramidele cu vârful P și baza В1 В2 В3 ... Вм.
Știind că volumul piramidei se calculează cu formula V = (1/3) Sh, este ușor de determinat volumele fiecăruia dintre cele trei tipuri de piramide care alcătuiesc prismatoidul original:
3) Luați în considerare una dintre piramidele laterale, de exemplu, piramida PA1 B1 B2. Volumul acestei piramide
În mod similar, se pot imagina volumele piramidelor rămase "laterale".
Rămâne să găsim suma volumelor tuturor piramidelor "laterale".
Sintetizând volumele setului de piramide cu vârful din punctul P, găsim volumul prismatoidului: