Fie polinoame cu coeficienți raționali. Indicăm rădăcinile.
Sarcina. Pentru o fracțiune rațională, găsiți un polinom c cu coeficienți raționali și astfel
Este clar că această producție are sens, dacă nu pentru una. și anume polinoame și sunt relativ prime.
De interes deosebit este cazul când este ireductibil asupra setului de numere raționale.
Teoremă. Dacă există întotdeauna un polinom. rezolvând sarcina. Având în vedere că un astfel de polinom este determinat în mod unic.
Dovada. Este ușor de verificat faptul că polinomul. satisfăcând identitatea Bezout.
determină rezolvarea problemei. Pe o rădăcină arbitrară a unui polinom, această identitate devine egală. Astfel, polinomul
este dorit. Deoarece coeficienții - prin orice metodă de construire a acestora din punctul anterior - sunt exprimați rațional în termeni de coeficienți ai polinomilor și. atunci coeficienții sunt numere raționale. Soluția acestei probleme va fi, de asemenea, un polinom arbitrar al formei pentru orice. În special, putem lua ca polinomul restul de diviziune. Datorită acestei posibilități obținem o soluție a problemei pentru restricția indicată în teoremă. ♦
Dovedește unicitatea polinomului când starea este satisfăcută.
Un exemplu. Distruge iraționalitatea în numitorul expresiei. unde este rădăcina polinomului.
Soluția. Aici, polinomul este calculat în exemplul ☞ AICI.
Luăm reprezentarea din dovada teoremei:
Dacă vă împărțiți. atunci restul de divizare, adică
De asemenea, este soluția problemei - și singura dintre polinoamele de grade mai mici. ♦
Distruge iraționalitatea în numitorul expresiei
a). unde este rădăcina polinomului;
b). unde este rădăcina polinomului.
Fie ca comportamentul obiectului de control să fie descris printr-o funcție a timpului. satisfacerea ecuației diferențiale
Aici - efectul de control (care avem capacitatea de a crea pentru a furniza proprietățile dorite ale obiectului), - perturbația, - polinomii de la operatorul de diferențiere cu coeficienți constanți.
Se presupune că semnalul de feedback este construit ca o soluție a ecuației diferențiale
unde este un polinom care nu este identic egal cu zero.
Un exemplu. Un caz special al unei astfel de sarcini îl constituie legea proporțională-diferențială-integrală de control (Legea PID)
Într-adevăr, această relație este echivalentă cu ecuația diferențială
Ecuația obiectului și ecuația feedback-ului formează un sistem
Excluderea din acest sistem. obținem ecuația
Polinomul caracteristic al sistemului închis a devenit
Teoremă. Apoi polinoamele și. care determină forma feedback-ului, pot fi alese astfel încât sistemul polinom caracteristic să aibă coeficienți arbitrari prescrise, adică un aranjament arbitrar al rădăcinilor.
Dovada rezultă din identitatea Bezout. dacă u satisfaceți identitatea. apoi ca polinoame se poate lua
În cazul în care. apoi puteți alege tipul de feedback. Stabilitatea unui sistem închis cu un obiect instabil.
