O extensie separabilă este o extensie algebrică a câmpului E ⊃ K. constând din elemente separabile, adică, astfel de elemente α. annihilatorul minim f (x) peste K pentru care nu există rădăcini multiple. Derivatul f '(x) trebuie să fie în acest sens un polinom nonzero. Prin definiție, toate câmpurile de caracteristică 0 sunt separabile, prin urmare conceptul de separabilitate este netrivial numai pentru câmpurile caracteristice nonzero p.
Pentru extensiile finite, avem următoarea afirmație: dacă K ⊂ E ⊂ K *>. unde K *> este închiderea algebrică a K. atunci E este separabil dacă și numai dacă numărul diferitelor izomorfisme sigma câmpul E în închiderea algebrică K *> peste K este o putere a [E. K]. În cazul extensiilor non-separabile ale acestui număr este un divizor de [E. K] și se numește gradul separabil [E. K] s> (câtul este oarecum caracteristic).
Proprietăți ale extensiilor separabile
Dacă extensia E ⊇ K este separabilă, atunci pentru orice extensie F ⊇ K (dacă F și E sunt cuprinse într-un câmp), câmpul compozit [en] E F este o extensie separabilă a K.
O generalizare a separabilității față de extensiile non-algebraice
Extensia E ⊇ K este considerată liniară liberă de L ⊇ K. dacă un set finit de elemente E liniar independent față de K rămâne liniar independent față de L. Această definiție este simetrică: dacă E este liniar liber de L peste K. apoi, invers, L este liniar liber de E peste K.
Extensia (nu neapărat algebric) E peste un câmp K se numește separabil dacă este pentru unele m naturale liniar liber de expansiunea K p - m >> - generată de aderarea tuturor rădăcinilor grad p m> Element K. Pentru extensia algebrică este echivalentă cu definiția obișnuită. Selectarea numărul m al definiției este libertatea liniară și independentă echivalentă de la E K p - ∞ >> - un compozit al tuturor K p - m >> (criteriul Maclane).