Exercițiul 11.1. Adăugați această construcție și arătați naturalitatea izomorfismului.
Definiție 11.8. Pentru functorul F. C. D și obiectele X; Y 2 Ob (C) luăm în considerare harta
Hom C (X; Y). Hom D (F (X); F (Y));
Dacă această mapare este injectivă pentru toate X și Y, atunci F este numită credincioasă.
Dacă această mapare este surjectivă pentru toate X și Y, atunci F este numit plin.
1. F stricte și complete.
2. Pentru fiecare Y 2 Ob (D) există X 2 Ob (C) astfel încât Y F (X).
Dovada lui Bucur-Delyanu sau Gelfand-Manin.
soiuri algebrice afine,
11.4 Dualitatea lui Pontryagin
Definiția 11.9 (Otto Schreyer, 1926). G se numește un grup topologic dacă G este prevăzut cu topologie și multiplicare continuă (x; y) 7 x y și având un element invers x 7 x 1 !.
Functorul b: LCAb. LCAb. care dă dualitatea Pontryagin, este construită după cum urmează:
G G b: = Hom TopGrp (G; T);
unde T: = fz 2 C j jj = 1g.
Structura grupului pe G b este produsul punctual al caracterelor:
G b este echipat cu topologia convergenței uniforme pe subseturi compacte. Acum vom analiza ce este.
Fie U un cartier de 1 în grupul topologic G. Luați în considerare
Baza sistemului de medii din G definește setul
fU d j U vecinătate de 1 în Gg:
În consecință, o structură uniformă apare pe G.
Definiție 11.10. X este numit un spațiu uniform dacă este dat un subset B X X de medii de structură uniformă astfel încât
1. B este un ultrafilter:
U; V 2 B) U \ V 2 B;
U 2 B; U V) V 2 B:
2. Pentru fiecare U 2 B, x U deține, unde
x: = f (x; x) j x 2 Xg:
3. Pentru fiecare U 2 B există un V 2 B astfel încât V 0 U, unde
V 0: = f (y; x) j (x; y) 2 V g:
4. Pentru fiecare U 2 B există un V 2 B astfel încât V V U, unde
V V: = f (x; y) j 9z 2X (x; z); (z; y) 2 Vg:
Definiție 11.11. Cartografia (X; B X). (Y; B Y) este considerat a fi uniform continuu dacă pentru fiecare U 2 B U (f f) 1 (U) 2 B X.
Deoarece am introdus doar o structură suplimentară care seamănă cu topologia obișnuită, există un functor funerar Unif. Top.
Pe orice grup topologic există două structuri uniforme, dreapta și stânga, dar pentru grupurile abeliene (și compacte local) acestea coincid.
Definiție 11.12. Fie X un set și un spațiu uniform. Fie U 2 B Y mediul. Definiți U X Y X Y X
U X: = f (f; g) j f; g. X. Y; 8 x 2 x (f (x); g (x)) 2 ug:
U X luăm ca bază a sistemului de medii în Y X. Topologia corespunzătoare se numește topologia convergenței uniforme pe Y X.
Definiție 11.13. Topologia convergenței pe subseturi compacte numită cea mai slabă topologie care limitând în același timp orice compact X G induce topologia definită mai sus pe Y X.
Afirmația 11.6 (teorema lui Pontryagin). Există un izomorfism natural al grupurilor topologice
Functorul corespunzător pe săgeți este construit după cum urmează:
AffVar k 'AffAlg k.
Anti-echivalența rezultă din faptul că
I (V (I)) = I pentru idealul radical I (astfel încât I = Rad (I)).
V (I (X)) = X pentru soiul algebric X.
(Am discutat doar soiului X algebrică se obține algebră k [X], dar este posibil să se construiască o varietate algebrică în algebra nu este dificil de a veni cu povestea de mai sus sau citit în cărți.)
Cărți recomandate pentru cei care sunt interesați de geometria algebrică:
David Mumford, Cartea roșie privind soiurile și schemele.
David Eisenbud, Joe Harris, Geometria sistemelor.
Robin Hartshorn, geometrie algebrică.