Să analizăm o astfel de problemă. Având în vedere o ecuație patratică cu un parametru, este necesar să se efectueze un studiu complet al semnelor rădăcinilor ecuației în funcție de valorile parametrului. Se aplică două abordări aici: soluția ecuației și utilizarea formulelor Viet. Dacă discriminantul ecuației este o pătrată completă și coeficientul de conducere este independent de parametru, atunci este mai ușor să rezolvați ecuația și să examinați direct semnele radiculare.
1. Determinați semnele rădăcinilor ecuației ca funcție a parametrului. Soluția. Să găsim discriminatorii. Deoarece discriminantul este un pătrat complet, nu este dificil să rezolvăm această ecuație: ambele rădăcini sunt pozitive dacă. Ambele rădăcini sunt negative dacă. Verificăm intervalele rămase: pentru. la. adică rădăcinile au semne diferite. În restul punctelor, când. rădăcinile sunt calculate: o rădăcină este zero, iar cealaltă este negativă. Ar trebui de asemenea remarcat atunci când rădăcinile sunt identice :. rădăcina multiplă este egală cu. Problema este rezolvată, dar este util să luăm în considerare ilustrația geometrică. Reprezentăm liniile din planul AOX și (figura 1). Toate informațiile despre semnele rădăcinilor pentru diferite valori pot fi citite din desen: pentru această valoare, trasăm mental o linie verticală și notăm punctele de intersecție cu liniile drepte și. ordonatele lor sunt rădăcinile ecuației. Conform desenului, se poate observa în mod clar că atunci când u și o rădăcină sunt negative și cealaltă este pozitivă, cu și una este negativă, iar cealaltă este zero, cu două rădăcini negative diferite și o rădăcină negativă negativă. Răspuns: când u este la rădăcinile diferitelor semne, cu și pentru o rădăcină este negativă, iar cealaltă este zero, cu două rădăcini negative diferite, cu o rădăcină negativă multiplă.
1) Dacă coeficientul de conducere depinde de parametru, atunci vom găsi pentru ce valori ale parametrului este zero. Înlocuim aceste valori în ecuație și rezolvăm ecuația liniară rezultantă. Determinați semnul rădăcinii sale.
2) Gasim diferentierea ecuatiei si rezolvam inegalitatea. Astfel, aflăm pentru ce valori ale parametrului lipsesc rădăcinile.
3) Luați în considerare valorile parametrului pentru care. adică rădăcinile coincid. Trebuie să-i găsim și să determinăm semnul.
4) Luați în considerare valorile parametrului pentru care. Ambele rădăcini sunt pozitive dacă și numai dacă suma și produsul sunt pozitive. Ambele rădăcini sunt negative dacă și numai dacă suma lor este negativă, iar produsul este pozitiv. Rădăcinile au semne diferite dacă și numai dacă produsul lor este negativ. Folosind formulele lui Viet, compunem și rezolvăm sistemele corespunzătoare.
5) Separat, trebuie să analizăm cazul în care unul dintre rădăcini este zero. Pentru aceasta, înlocuim în ecuație, găsim valoarea parametrului și cea de-a doua rădăcină.
Mai des în probleme, este necesară doar o parte din astfel de cercetări.
2. Pentru ce valori ale parametrului ecuația are două rădăcini pozitive diferite? Soluția. Ambele rădăcini sunt pozitive dacă și numai dacă suma și produsul sunt pozitive. Pentru ca rădăcinile să existe și să fie diferite, avem nevoie ca discriminantul să fie pozitiv. Obținem un sistem. Raspuns :.
3. Pentru ce valori ecuația nu are rădăcini pozitive? Soluția. Când ajungem. Nu există rădăcini pozitive. Să găsim diferențiatorul ecuației. Prin urmare, atunci când ecuația nu are rădăcini. Pentru ambele rădăcini sunt negative, este necesar și suficient care sunt îndeplinite următoarele condiții: suma rădăcinilor. dar produsul rădăcinilor. Să facem un sistem. Dacă o rădăcină este 0, atunci nu există alte rădăcini. Deci, trebuie să combinați lacunele. unde nu există rădăcini, un gol. unde ambele rădăcini sunt negative, iar punctul 0, unde o rădăcină zero. Raspuns :.
4. Determinați semnul rădăcinilor ecuației pătratice. Soluția. 1) Considerăm cazul. În acest caz, obținem o ecuație liniară. adică în acest caz există o rădăcină pozitivă. 2) Să presupunem că. Deci, cum. atunci nu există rădăcini. 3) Când. obținem o ecuație cu o rădăcină negativă și o ecuație cu o rădăcină pozitivă. 4) Să presupunem că. Ambele rădăcini sunt pozitive dacă. Ambele rădăcini sunt negative dacă condițiile sunt îndeplinite. Rădăcinile diferitelor semne, dacă. 6) Fie o rădăcină zero. Înlocuindu-ne în ecuație, ajungem. Ecuația în sine are un formular. Prin urmare, a doua rădăcină este negativă. Răspundeți: cu rădăcini nu există rădăcini negative, cu o rădăcină negativă, a doua cu egalitate cu zero, cu rădăcini de semne diferite, cu rădăcini pozitive.