5.4. Limita de secvențe convergente
Definiția 5. Se spune că o secvență numerică este limitată de sus (de jos) dacă setul valorilor sale este mărginit de sus (de jos).
Cu alte cuvinte, secvența numerică xn> este mărginită deasupra (mai jos) dacă există un număr
cR. că pentru toate n inegalitatea xn
Se spune că o secvență delimitată deasupra și dedesubt este limitată. Astfel, secvența numerică xn> este mărginită dacă există numere aR și bR. că pentru toate n condiția a
O secvență care nu este limitată mai sus (de mai jos) este considerată a fi neîngrădită de sus (de dedesubt), iar o secvență care nu este limitată se spune a fi neîngrădită. Un exemplu de secvențe neîngrădite sunt secvențe infinit de mari (a se vedea § 5.1, Definiția 3). Trebuie notat însă că nu fiecare secvență neîngrădită este infinit de mare. Astfel, secvența
nelimitat, dar nu infinit de mare.
Teorema. Dacă secvența de numere are o limită finită. atunci este limitat.
Fie secventa xnR. n = 1, 2. are o limită finită = aR. Apoi, conform definiției limitei unei secvențe (vezi § 5.1, Definiția 1), luând = 1, obținem că există un număr n1. că pentru toate numerele n> n1, neechilibrul
(în definirea limitei unei secvențe putem lua orice> 0, am luat = 1, Figura 51). Indicați cu d cel mai mare dintre numerele 1, | x1 - a |. . Apoi, evident, prin condiție (5.29), pentru toți
nN, inegalitate
Aceasta înseamnă că secvența xn> este mărginită.