7. Exemple de distribuire a variabilelor aleatoare
O variabilă aleatoare discretă este considerată a fi distribuită binomial dacă valorile posibile ale acesteia sunt 0, 1, ..., n. și probabilitatea că, exprimată prin formula
,
în cazul în care.
Asteptarile matematice ale unei variabile aleatoare distribuite conform legii binomiale sunt egale cu varianta.
O variabilă aleatoare discretă este considerată a fi distribuită Poisson dacă valorile sale posibile sunt 0, 1, ..., m, ... și probabilitatea ca aceasta să fie exprimată prin formula
,
unde este parametrul legii Poisson.
Previziunile matematice și varianța unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson sunt egale cu parametrul.
Se spune că o variabilă aleatorie continuă este distribuită uniform în intervalul în care densitatea distribuției în acest interval este constantă.
Previziunile matematice și varianța unei variabile aleatorii distribuite uniform pe o secțiune sunt egale
.
O variabilă aleatorie continuă este denumită distribuită exponențial dacă densitatea de distribuție este distribuită
unde este parametrul legii exponențiale.
Pentru o variabilă aleatoare distribuită conform legii exponențiale,
Funcția de distribuție are forma
Se spune că o variabilă aleatorie continuă este distribuită în conformitate cu legea normală în cazul densității de distribuție
.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii distribuite în conformitate cu legea normală sunt egale, dar varianța.
Probabilitatea unei variabile aleatorii care intră în interval este egală cu
,
unde - în tabel,
de aici.
Sarcini tipice pentru rezolvarea unui public
1. Shooterul face trei lovituri la țintă. Probabilitatea de a atinge ținta cu fiecare lovitură este de 0,3. Construiți un număr de distribuții de hituri și calculați așteptările matematice și varianța variabilei aleatorii specificate.
Soluția. Variabila aleatoare este numărul de lovituri din țintă cu 3 fotografii, este distribuită conform legii binomiale, valorile posibile ale acesteia fiind 0, 1, 2, 3.
;
O serie de distribuții aleatorii variabile:
Distribuția rezultată se numește distribuția geometrică.
.
Pentru a calcula suma seriei obținute, considerăm seria
.
Aici.
Sarcini pentru soluționarea publicului
1. O variabilă aleatoare are o lege de distribuție binomială cu caracteristici numerice. Determinați probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă într-un segment.
2. Se știe că într-un lot de piese există 10% din părțile defecte. Găsiți legea distribuirii unei variabile aleatoare - numărul de părți adecvate din cinci selectate la întâmplare. Determinați caracteristicile numerice ale acestei legi.
3. Numărul de luptători de atac, care poate fi supus unui bombardier deasupra teritoriului inamic, este o variabilă aleatoare distribuită de legea Poisson cu așteptări. Fiecare atac cu o probabilitate de 0,4 capete leziune bombardier. Determinați: a) probabilitatea de a lovi un bombardier; b) aceeași probabilitate, în cazul în care numărul de atacuri de luptător -
Nu este o cantitate aleatorie și este exact trei.
4. Moneda este aruncată înainte de prima apariție a stemului. Găsiți numărul mediu de aruncări.
5. Valoarea divizării scalei ampermetrului este A. Citirea ampermetrului este determinată de diviziunea cea mai apropiată. Găsiți probabilitatea ca o eroare care depășește valoarea A.
Notă. Eroarea rotundă a eșantionului poate fi considerată ca fiind o variabilă aleatoare, distribuită uniform în intervalul dintre două diviziuni întregi adiacente.
6. Probabilitatea de a găsi o epavă în timpul căutării este dată de formula. Determinați așteptarea matematică a unei variabile aleatorii este timpul pentru a căuta o navă scufundată.
7. Încărcarea pe tija respectă legea normală de distribuție cu caracteristici numerice. Forța care distruge tija este. Găsiți probabilitatea de distrugere a tijei.
8. Masina-unelte face rolele, controland diametrul lor. Presupunând că este distribuită în mod normal, găsiți un interval în care diametrele rolelor produse vor fi închise cu o probabilitate de 0.9973.
Sarcini pentru soluționarea publicului
9. Probabilitatea de a lua o parte în cadrul toleranței dintr-un lot mare de piese este egală cu. Găsiți așteptările matematice și varianța numărului de piese din toleranța a 8 detalii luate la întâmplare.
10. Trenurile din această rută a tramvaiului orașului se desfășoară cu un interval de 5 minute. Pasagerul se apropie de stația de tramvai la un moment dat. Care este probabilitatea ca pasagerul să apară nu mai devreme de un minut după plecarea trenului anterior, dar nu mai târziu de două minute înainte de plecarea următorului tren?
11. Variabila aleatoare este distribuită în conformitate cu legea normală cu așteptări matematice și variante. Calculați probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă într-un interval.
12. Se crede că abaterea lungimii pieselor fabricate din standard este o cantitate aleatorie distribuită conform legii normale. Dacă lungimea standard este egală cu și abaterea standard este egală, atunci care este precizia lungimii produsului poate fi garantată cu probabilitate?
13. Numărul de particule emise de un element radioactiv în timpul unui interval de timp arbitrar are o distribuție Poisson cu un parametru. Găsiți probabilitatea ca numărul de particule emise în două secunde să fie închis într-un interval.
14. Distanța dintre două aeronave vecine în formație are o distribuție exponențială și. Pericolul de coliziune a avioanelor apare atunci când distanța până la. Găsiți probabilitatea ca există un pericol de coliziune a aeronavelor în aer.
Pe m e s t
1. 2. 3. a); b).
4 .. 5 .. 6 .. 7 .. 8 ..
9 .. 10. 11. 12.
13. 14.
8. Sisteme de variabile aleatoare
O funcție a distribuției unui sistem de două variabile aleatorii este o funcție.
Pentru un sistem de variabile aleatorii continue există o densitate de distribuție a probabilității, definită după cum urmează:
.
Densitatea distribuției de probabilitate nu este negativă:
.
Densitatea distribuției de probabilitate a variabilelor aleatorii care intră în sistem:
Variabilele aleatoare sunt numite independente. dacă
.
Un sistem de două variabile aleatorii discrete poate fi specificat de un tabel. în care sunt date perechi de valori ale variabilelor aleatoare și probabilitățile lor corespunzătoare.
Aici este probabilitatea unui eveniment care implică executarea simultană a egalității. În acest caz. Tabelul de mai sus poate conține un număr de rânduri și coloane numărabile.
Din tabelul distribuțiilor de probabilitate ale unui sistem de variabile aleatoare se poate găsi legea de distribuție a variabilelor aleatoare care intră în sistem:
, .
Variabilele aleatoare discrete sunt numite independente. dacă
.
Momentele inițiale și centrale ale unui sistem de două variabile aleatorii sunt definite după cum urmează:
și poate fi calculat din formule
,
(pentru variabilele aleatoare discrete)
și,
(pentru variabilele aleatorii continue).
Momentul central este numit momentul de corelare. Momentul de corelare caracterizează gradul de dependență liniară a variabilelor aleatoare. Caracteristica fără dimensiune a relației dintre variabilele aleatorii este coeficientul de corelare
.
Dacă variabilele aleatoare din sistem sunt independente, atunci; În general, din cauza necorespunzării, independența variabilelor aleatorii nu urmează.
Rezolvarea problemelor tipice
1. Două cutii conțin bile, câte 6 bile fiecare. În caseta 1, bila - № cu 1, 2 № minge cu 2, 3 cu bilă № 3; al doilea sertar - 2 bile cu № 1, 3 cu № mingii 2 și bila 1 № 3. considerate variabile aleatoare: - numărul minge de prima casetă alungită; - numărul de bile extrase din a doua casetă. Din fiecare sertar a fost scos de minge. Creați un tabel pentru distribuirea unui sistem de variabile aleatorii. Găsiți așteptări matematice, variante și. corelație.
Găsiți seria distribuției pentru u. Vor fi independenți și?
2. Scopul este de a produce două fotografii independente. Probabilitatea de lovire a țintă cu prima fotografie este egală, la a doua -. Construiește o tabelă de distribuție a unui sistem cu două variabile aleatorii, unde este numărul de lovituri la prima lovitură, numărul de lovituri din a doua lovitură. Găsiți funcția de distribuție a sistemului.
3. Variabile aleatoare independente și sunt supuse următoarelor legi de distribuție :,
Scrieți o expresie pentru funcția de distribuție a unui sistem de două variabile aleatoare.
4. Funcția de distribuție a unui sistem de două variabile aleatorii este dată:
Determinați dacă variabilele aleatoare sunt dependente. Găsiți densitatea de probabilitate a probabilităților sistemului. Calculați caracteristicile numerice.
5. Sistemul de variabile aleatoare are o densitate
.
Determinați valoarea. Găsiți funcția de distribuție ,,. Determinați probabilitatea ca un punct aleatoriu care intră în regiune să fie dat de inegalitățile :.
6. Sistemul a două variabile aleatoare, supuse legii densității uniforme în interiorul dreptunghiului :. Găsiți densitatea distribuției de probabilitate și probabilitatea ca un punct aleatoriu să cadă într-un pătrat cu o latură dacă centrul acestui pătrat coincide cu originea.
7. Densitatea distribuției de probabilitate a sistemelor a două variabile aleatorii independente este dată de următoarea expresie:
.
Găsiți parametrul necunoscut și determinați matricea de corelare a sistemului.
Sarcini pentru soluționarea publicului
8. Legea distribuției unui sistem de două variabile aleatorii este dată de un tabel de distribuție (Figura 1). Găsiți următoarele caracteristici ale sistemului :.
9. Cantitățile aleatorii sunt independente, iar densitățile lor de distribuție a probabilității sunt, respectiv, egale cu:
Determina funcția de distribuție a unui sistem de variabile aleatoare. Găsiți caracteristicile numerice ale unui sistem de variabile aleatorii.
10. Funcția de distribuție comună a variabilelor aleatoare este dată de expresie
Determinați dacă variabilele aleatoare sunt dependente. Găsiți densitatea de probabilitate a probabilităților sistemului. Găsiți probabilitatea de împlinire simultană a inegalităților.
11. Determinați așteptările matematice și matricea de corelație a unui sistem de două variabile aleatorii dacă densitatea de probabilitate a sistemului are următoarea formă:
.
Determinați probabilitatea ca un punct aleatoriu să cadă într-un cerc cu o rază.
12. Un punct aleatoriu are o distribuție uniformă în interiorul unui dreptunghi delimitat de linii drepte. Găsiți funcția de distribuție a unui sistem de variabile aleatoare.
13. Sistemul a două variabile aleatoare are densitatea de distribuție a probabilității.
Găsiți următoarele caracteristici numerice ale sistemului
.
13.
LISTA BIBLIOGRAFICĂ
1. Abezgauz G.G. și alte cărți de referință privind calculele probabilistice. M. Voenizdat, 1970.
2. Borovkov A.A. Teoria probabilităților. M. Nauka, 1976.
3. Wenzel E.S. Teoria probabilităților. M. Nauka, 1969.
4. Wenzel E.S. Ovcharov L.A. Teoria probabilităților. Sarcini și exerciții. M. Nauka, 1969.
5. Vilenkin N.Ya. Combinatorica. M. Nauka, 1969.
6. Vilenkin N.Ya. Combinatorice populare. M. Nauka, 1975.
7. Gmurman V.E. Teoria probabilității și a statisticilor matematice. M. Învățământul superior. Scoala, 1972.
8. Gmurman V.E. Un ghid pentru rezolvarea problemelor din teoria probabilităților și statisticile matematice. M. Învățământul superior. Școală, 1970.
9. Gnedenko B.V. Curs de teoria probabilităților. M. Fizmatgiz, 1961.
10. Gursky E.I. Teoria probabilității cu elemente de statistică matematică: M. Vyssh. Scoala, 1971.
11. Yezhov I.I. Skorokhod A.V. Yadrenko M.I. Elemente de combinatorice. M. Nauka, 1977.
12. Ivașov-Musatov, O.S. Teoria probabilității și a statisticilor matematice. M. Nauka, 1979.
13. Kovalenko I.N. Filippov A.A. Teoria probabilității și a statisticilor matematice. M. Învățământul superior. școală, 1973.
14. Prokhorov Yu.V. Rozanov Yu.A. Teoria probabilităților. M. Nauka, 1973.
15. Pugachev V.S. Teoria probabilității și a statisticilor matematice. M. Nauka, 1979.
16. Colectarea problemelor din teoria probabilităților, statisticile matematice și teoria funcțiilor aleatorii, Ed. A. Sveshnikova M. Nauka, 1970.
17. Tutubalin V.N. Teoria probabilităților. M. Izd-vo MGU, 1972.
18. Feller V. Introducere în teoria probabilității și a aplicațiilor sale. M. Mir, 1964.