profesorul de matematică al școlii "Școala Nr. 36", Angarsk
Bin din Newton este unul dintre subiectele, a căror luare în considerare contribuie la înțelegerea profundă de către elevi a unor concepte combinatoriale, dar și a formulelor de multiplicare redusă. În acest articol este prezentată una dintre versiunile prelegerii elevilor de liceu pe tema "Binom Newton".
Planul de curs 1. Conceptul de binomial Newton
2. Proprietățile coeficienților binomiali și binomiali
3. Probleme tipice pe tema "Newton binomial"
4. Probleme care reduc la folosirea formulei binomiale Newton (probleme non-standard pe subiectul "Binomialul lui Newton").
Conceptul de binomial Newton
Un binomial Newton este o descompunere a formei:
Dar, strict vorbind, întreaga formulă nu poate fi numită binomă, deoarece "binomul" este tradus ca "binom". În plus, formula de descompunere a fost cunoscută chiar înainte de Newton, Isaac Newton a extins această descompunere la cazul lui n<0 и n – дробного.
Scopul studierii binomului Newton este de a simplifica acțiunile computaționale.
Componente cu formula "Newton binomial":
ü partea dreaptă a formulei este descompunerea binomului;
ü - coeficienți binomiali, pot fi obținuți folosind triunghiul Pascal (folosind operația de adăugare).
Semnificația practică a triunghiului lui Pascal este că poate fi ușor reconstituite din memorie nu este numai bine-cunoscut formulă, iar suma pătratelor diferenței, dar formula cubului sumei (diferența) din gradul al patrulea și mai sus.
De exemplu, a patra linie a triunghiului demonstrează doar coeficienții binomi pentru un binomial de gradul patru:
Alternativ la triunghiul lui Pascal:
1) înmulțiți patru paranteze:
2) amintiți-vă extinderea binomului Newton de gradul patru:
ü termenul general al extinderii unui binomial de grad n :,
unde T este un termen în expansiune; Este numărul ordinal al termenului de expansiune.
Proprietățile coeficienților binomiali și binomiali
2. Numărul tuturor termenilor din expansiune este unul mai mult decât exponentul binomului, adică,
3. Suma exponentilor a și b pentru fiecare termen al expansiunii este egală cu exponentul binomului, adică n
Luați în considerare cel de-al treilea termen al expansiunii:
Suma exponenților a și b.
4. Coeficienții binomi ai termenilor de expansiune echidistanti de la capetele expansiunii sunt egali unul cu altul: (regula de simetrie)
5. Suma coeficienților binomi ai tuturor termenilor expansiunii este
o partea stângă este;
o partea dreaptă este
6. Suma coeficienților binomiali în locuri împrăștiate este egală cu suma coeficienților binomiali la locuri egale și este egală cu
7. Regula lui Pascal:
8. Orice coeficient binomial, începând cu al doilea, este egal cu produsul coeficientului binomial precedent și fracțiunea
Sarcinile tipice pe tema "Binom Newton"
Sarcinile tipice (standard) pe această temă includ sarcinile de calcul, printre care:
1. Găsiți termenul (numărul termenului) al expansiunii binomiale
2. Derulați printr-un coș de gunoi din termenii cunoscuți ai expansiunii (cu o sumă cunoscută)
3. Calculați suma coeficienților binomi ai expansiunii binomiale
Să demonstrăm prin exemple (soluția lor este simplă, deci majoritatea oferă soluții pe cont propriu).
Extindeți formula prin binom
ATENȚIE!
Găsiți al șaselea termen în extindere
ATENȚIE!
Este mai bine să începeți discuția cu următoarele:
Găsiți cei doi termeni medii ai expansiunii
VĂ RUGĂM NOTĂ că acești termeni sunt la fel de distanțați de final, deci coeficienții lor binomiali vor fi egali.
NU ÎNCEPE în procesul de transformare a gradelor cu aceleași baze (simplificarea).
În expansiunea binomică, găsiți termenul de extindere care nu conține x
Deoarece în expansiune căutăm un termen care să nu conțină x.
Probleme care reduc la folosirea formulei binomiale Newton
(probleme non-standard pe tema "Binom Newton")
Funcțiile non-standard pe această temă pot fi atribuite celor în care nu există nici un indiciu explicit al necesității de a folosi un binomial. Cu toate acestea, în cele din urmă, soluția se reduce la ea și arată foarte interesant.
Dovedeste ca pentru orice si pentru orice inegalitate Bernoulli este adevarata:
Să ne reamintim cerința: Dovediți că, unde
Deoarece, prin urmare, există cel puțin trei termeni în expansiune, atunci:
Asta înseamnă că
(Sugestie: folosiți inegalitatea Bernoulli)
Dovada că pentru orice număr întreg pozitiv n numărul este divizibil până la 9
$ Sarcini suplimentare pentru auto-împlinire
1) Găsiți numărul termenului de expansiune al unui binomial care nu conține x.
2) Găsiți al cincilea termen în expansiunea binomică.
3) Găsiți suma coeficienților binomi ai termenilor în locuri ciudate în expansiunea binomică dacă coeficientul binomial al celui de-al treilea termen este mai mare cu 9 decât coeficientul binomial al celui de-al doilea termen.
4) Găsiți al șaptelea termen în expansiunea binomică dacă coeficientul binomial al celui de-al treilea termen este de 36.
5) Câți membri ai unei expansiuni binomiale sunt numere întregi?
6) Calculați suma.
7) Găsiți suma algebrică a coeficienților polinomului în raport cu x. obținut în descompunerea unui binomial.
8) Suma coeficienților binomi ciudați ai expansiunii este 512. Găsiți termenul care nu conține x.
9) Pentru ce valori ale lui x este al patrulea termen al extinderii mai mare decât doi termeni adiacenți lui?
10) La ce valoare a lui x descompunere patrulea termen de douăzeci de ori m, în cazul în care coeficientul binomial al patrulea termen se referă la un coeficient binom al doilea termen ca 5. 1?
11) În ce măsură ar trebui construit binul astfel încât raportul celui de-al patrulea termen al extinderii la al treilea să fie egal cu?