Definiție: Produsul matricelor este o matrice ale cărei elemente pot fi calculate prin următoarele formule:
.
Din definiția de mai sus rezultă că operația de multiplicare a matricei este definită numai pentru matrici, numărul de coloane din primul dintre ele fiind egal cu numărul de rânduri din al doilea.
1) Înmulțirea matricelor nu este comutativă, adică AV ¹ BA, chiar dacă ambele produse sunt definite. Cu toate acestea, dacă pentru orice matrice relația AB = BA este îndeplinită, atunci aceste matrici se numesc comutative.
Cel mai tipic exemplu este o singură matrice, care este permutabilă cu orice altă matrice de aceeași mărime.
O matrice comutativă poate fi doar matricele pătrate de aceeași ordine.
A × E = E × A = A
Este evident că pentru orice matrice se află următoarele proprietăți:
A × O = O; O × A = O,
unde G este matricea zero.
2) Funcționarea multiplicării matricei este asociativă, adică dacă produsele AB și (AB) C sunt definite, atunci BC și A (BC) sunt definite și se menține următoarea egalitate:
3) Funcționarea multiplicării matricei este distributivă în ceea ce privește adăugarea; dacă expresiile A (B + C) și (A + B) C sunt semnificative, atunci, respectiv:
4) Dacă produsul AB este definit, atunci pentru orice număr a se aplică următoarea relație:
5) Dacă produsul AB este definit, atunci produsul B T A T este definit și se menține următoarea egalitate:
(AB) T = B T A T unde
indicele T indică matricea transpusă.
6) De asemenea, observăm că pentru orice matrice pătrată det (AB) = detA × detB.
Conceptul det (determinant, determinant) va fi luat în considerare mai jos.
Definiția. Matricea B este numită matricea transpusă A, iar tranziția de la A la B este transpunere dacă elementele fiecărui rând al matricei A sunt scrise în aceeași ordine în coloanele matricei B.
;
Ca o consecință a proprietății precedente (5), putem scrie că:
(ABC) T = C T B T A T.
cu condiția ca produsul matricelor ABC să fie definit.
Valoarea determinantului: -10 + 6 - 40 = -44.
Așa cum sa spus mai sus, minorul matricei ordinului s este determinantul matricei formate din elementele matricei originale situate la intersecția unor rânduri s selectate s și coloane s.
Definiția. Într-o matrice de ordine m'n un minor de ordin r se spune că este de bază dacă nu este egal cu zero și toți minorii de ordin r + 1 și mai mari sunt egali cu zero sau nu există deloc, adică r coincide cu cel mai mic dintre numerele m sau n.
Coloanele și rândurile matricei pe care se află minorul de bază sunt de asemenea numite de bază.
În matrice pot exista mai mulți minori de bază care au aceeași ordine.
Definiția. Ordinea minorului de bază al matricei este numită rangul matricei și este notată de Rg A.
O proprietate foarte importantă a transformărilor matricei elementare este aceea că ele nu schimbă rangul matricei.
Definiția. Matricele obținute ca rezultat al transformării elementare sunt numite echivalente.
Trebuie remarcat faptul că matricile egale și matricile echivalente sunt concepte complet diferite.
Teorema. Cel mai mare număr de coloane independente liniar în matrice este egal cu numărul de rânduri liniar independente.
pentru că transformările elementare nu modifică rangul matricei, atunci este posibil să se simplifice substanțial procesul de identificare a rangului matricei.
Un exemplu. Determinați rangul matricei.
,
=
Soluția totală a sistemului: x = 1; y = 2; z = 3.
În ciuda limitării posibilității de a aplica această metodă și a complexității calculelor pentru valorile mari ale coeficienților, precum și a sistemelor de înaltă calitate, metoda poate fi ușor implementată pe un calculator.
Această metodă este aplicabilă și în cazul sistemelor de ecuații liniare, unde numărul de variabile coincide cu numărul de ecuații. În plus, trebuie să introduceți restricții privind coeficienții sistemului. Este necesar ca toate ecuațiile să fie independente liniar, adică nici o ecuație nu ar fi o combinație liniară a celorlalte.
Pentru a face acest lucru, este necesar ca determinantul matricei sistemului să nu fie egal cu 0. det A ¹ 0;
Într-adevăr, dacă orice ecuație a sistemului este o combinație liniară a celorlalte, atunci dacă la elementele unui rând se adaugă elemente ale unui alt multiplicat cu un anumit număr, cu ajutorul transformărilor liniare se poate obține un rând zero. Determinantul în acest caz va fi zero.
Teorema. Un sistem de n ecuații cu n necunoscute
în cazul în care determinantul matricei sistemului nu este zero, are o soluție unică și această soluție se găsește prin formule:
D = det A, iar Di este determinantul matricei obținute din matricea sistemului prin înlocuirea coloanei i cu coloana cu termeni liberi bi.