Se poate arăta că momentele empirice inițiale și centrale sunt estimări consecvente ale momentelor teoretice inițiale și centrale ale aceleiași ordini, respectiv. Aceasta este baza metodei de momente propuse de C. Pearson. Avantajul metodei este simplitatea comparativă. Metoda momentelor de estimare punctuală a parametrilor necunoscuți ai unei distribuții date constă în echivalarea momentelor teoretice ale distribuției luate în considerare cu momente empirice corespunzătoare din aceeași ordine.
A. Estimarea unui parametru. Să presupunem că avem forma densității de distribuție f (x, # 952;) definită de un parametru necunoscut # 952; Este necesar să se găsească o estimare punct a parametrului # 952; .
Pentru a evalua un parametru este suficient să existe o ecuație în raport cu acest parametru. Urmând metoda de momente, echivalăm, de exemplu, momentul teoretic inițial al primei ordini cu momentul empiric inițial al primei ordini: # 957; 1 = M1. Având în vedere acest lucru ###; 1 = M (X) (vezi Capitolul VIII, §10), M1 = (vezi Capitolul XVII, §2), obținem
Așteptările matematice ale lui M (X), așa cum se poate vedea din relație
există o funcție de # 952; prin urmare (*) poate fi privită ca o ecuație cu una necunoscută # 952; Rezolvarea acestei ecuații în raport cu parametrul # 952; astfel găsim estimarea punctului # 952; *, care este o funcție a mediei eșantionului, prin urmare, din varianta de eșantion:
Exemplul 1. Găsiți metoda momentelor de probă x1, x2. estimarea punctului xn a parametrului necunoscut # 955; o distribuție exponențială a cărei densitate de distribuție (x ≥ 0).
Soluția. Echizăm momentul inițial teoretic al primei ordini la momentul empiric inițial al primei ordini: # 957; 1 = M1. Având în vedere. M1 =, ajungem
Având în vedere că așteptarea matematică a distribuției exponențiale este 1 / # 955; (vezi capitolul XIII, paragraful 3), avem
Astfel, estimarea punctului dorită a parametrului # 955; distribuția exponențială este egală cu inversul mediei eșantionului:
B. Evaluarea a doi parametri. Fie forma densității de distribuție f (x; # 952; 1. # 952; 2), definite prin parametri necunoscuți # 952; 1 și # 952; 2. Pentru a găsi doi parametri, sunt necesare două ecuații în raport cu acești parametri. În urma metodei momentelor, putem echivala, de exemplu, momentul teoretic inițial al primei ordini la momentul empiric inițial al ordinului I și momentul teoretic central al ordinii a doua la momentul empiric central al ordinii a doua:
Așteptarea și varianța sunt funcții ale # 952; 1 și # 952; 2. prin urmare (**) poate fi privit ca un sistem de două ecuații cu două necunoscute # 952; 1 și # 952; 2. Rezolvând acest sistem cu privire la parametrii necunoscuți, obținem estimările lor punctuale # 952; 1 * și # 952; 2 *. Aceste estimări sunt funcții ale variantei de eșantion:
Exemplul 2. Găsiți metoda momentelor prin eșantionul x1, x2. xn estimări ale parametrilor necunoscuți a și # 963; distribuția normală
Soluția. Echizăm momentele teoretice și empirice inițiale ale primei ordini, precum și momentele centrale și empirice ale ordinii a doua:
Având în vedere că așteptarea unei distribuții normale este egală cu parametrul a, varianța este # 963; 2 (vezi Capitolul XII, §2), avem:
Astfel, estimările punctuale necesare ale parametrilor distribuirii normale:
Observație 1. Pentru estimări, parametri necunoscuți, putem echivala nu numai momentele înseși, ci și funcțiile momentelor. În mod special, astfel obținem estimări coerente ale caracteristicilor distribuțiilor, care sunt funcții ale momentelor teoretice. De exemplu, asimetria distribuției teoretice (vezi Capitolul XII, §9)
este o funcție a momentelor centrale ale ordinelor a doua și a treia. Înlocuind aceste momente teoretice cu momentele empirice corespunzătoare, obținem o estimare punctuală a asimetriei
Observație 2. Considerând asta. ultima formulă poate fi scrisă în formular
Mai mult, această estimare va fi adoptată ca o definiție a asimetriei distribuției empirice (vezi Capitolul XVII, § 9).