Ecuația generală Riccati
Ecuația Riccati este una dintre cele mai interesante ecuații diferențiale neliniare de ordinul întâi. Este scris în forma: \ [y '= a \ left (x \ right) + c \ stânga (x \ right) ), \) \ (b \ left (x \ right), \) \ (c \ left (x \ right) \)
Ecuația Riccati apare în diferite domenii ale matematicii (de exemplu, în geometria algebrică și în teoria conformărilor conformale) și fizică. De asemenea, apare adesea în problemele matematice aplicate.
Ecuația de mai sus se numește ecuația generală Riccati. Soluția sa se bazează pe următoarea teoremă:
Teorema. Dacă soluția parțial cunoscută \ (\) ecuația Riccati, atunci soluția generală este dată de formula \ [y = + u \.] Într-adevăr, înlocuind soluția \ (y = + u \) într-o ecuație Riccati avem: \ [+ u> \ dreapta] + \ u> \ dreapta) + b \ left (x \ right) + u> > + u „> => + o \ stânga (x \ dreapta) u + \ underline + 2b \ left (x \ dreapta) u + b \ stânga (x \ dreapta) + \ subliniere.> \] termenii subliniate din stânga iar partea dreaptă poate fi redusă, deoarece \ (\) este o soluție particulară care satisface ecuația. Ca rezultat, obținem ecuația diferențială pentru funcția \ (u \ stânga (x \ dreapta): \) \ [u „= b \ stânga (x \ dreapta) + \ stânga [+ o \ stânga (x \ dreapta)> \ dreapta ] u, \] care este ecuația Bernoulli. Substituția \ (z = \ large \ frac \ normalsize) convertește ecuația Bernoulli dată la o ecuație diferențială liniară. permițând integrarea.
Pe lângă ecuația Riccati generală, există multe cazuri speciale, ecuația Riccati cu coeficienți \ (a \ stânga (x \ dreapta), \) \ (b \ stânga (x \ dreapta), \) \ (c \ stânga (x \ dreapta) \ ) de un anumit tip. Multe dintre aceste cazuri speciale au soluții integrabile.
Revenind din nou la ecuația generală Riccati, vedem că soluția generală poate fi construită dacă se cunoaște o anumită soluție. Din păcate, nu există un algoritm strict pentru găsirea unei soluții particulare care depinde în esență de forma funcțiilor \ (a \ left (x \ right), \) \ (b \ left (x \ right) \) și \ x \ right). \)
Mai jos vom lua în considerare câteva cazuri bine cunoscute ale ecuației Riccati.
Cazul special \ (1: \) Coeficienții \ (a, b, c \) sunt constante.
Dacă coeficienții din ecuația Riccati sunt constanți, atunci o astfel de ecuație poate fi redusă la o ecuație cu variabile de separare. În acest caz, soluția generală este descrisă de o funcție integrată rațională cu un trinom pătratic la numitor: \ [+ c,> \; \; >> = ay + b + c> \; \;> + c >>> = \ int. > \] această integrală este ușor de calculat pentru orice valoare a \ (a, \) \ (b \) și \ (c \) (Vezi mai multe detalii despre acest lucru pe pagina „Integrarea funcțiilor raționale“).
Un caz special de \ (2: \) O ecuație a formulei \ (y '= b + c \)
Să considerăm ecuația Riccati de forma \ (y „= b + c, \) atunci când funcția \ (a \ stânga (x \ dreapta) \) al termenului liniar este zero, coeficientul \ (b \) când \ (\) este o constantă, și \ (c \ stânga (x \ dreapta) \) este funcția exponențială: \ [a \ stânga (x \ dreapta) \ echiv 0, \, \ b \ stânga (x \ dreapta) = b, \; \; c \ left (x \ right) = c. \] Acest caz al ecuației Riccati are soluții remarcabile!
Mai întâi de toate, rețineți că dacă \ (n = 0, 1), atunci ajungem din nou la cazul \ (1 \). în care variabilele sunt separate și ecuația poate fi integrată.
Dacă \ (n = -2, 1), atunci ecuația Riccati va fi transformată într-o ecuație omogenă prin substituție \ (y = \ large \ frac \ normalsize) și apoi va permite integrarea.
Această ecuație diferențială poate fi de asemenea rezolvată pentru \ [n = \ frac >>, \; \; \ text \; \; k = \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \] Aici soluția generală este exprimată în termeni cilindrici funcție.
Pentru toate celelalte valori ale puterii lui \ (n \), soluția ecuației Riccati poate fi exprimată în termeni de integrale ale funcțiilor elementare. Acest fapt a fost stabilit de matematicianul francez Joseph Liouville \ (\ left (\ right) \) în \ (1841 \).
Multe alte cazuri speciale ale ecuației Riccati sunt prezentate pe site-ul EqWorld.