Am introdus trei tipuri de caracteristici empirice concepute pentru a estima caracteristicile teoretice de distribuție necunoscute: funcția de distribuție empirică, histograma, momentele selective. Dacă estimările noastre sunt de succes, diferența dintre acestea și caracteristicile reale ar trebui să tindă la zero cu mărirea dimensiunii eșantionului. Această proprietate a caracteristicilor empirice se numește consistență. Să ne asigurăm că caracteristicile noastre selective posedă o astfel de proprietate.
lăsa # 151; volumul probei dintr-o distribuție necunoscută cu o funcție de distribuție. lăsa # 151; Funcția de distribuție empirică a fost construită din această probă. Apoi pentru oricine
# 151; aleatoare, deoarece este o funcție a variabilelor aleatoare. Același lucru se poate spune despre histograma și momentele selective.
Dovada teoremei 1. Prin definiție 1.
Variabile aleatoare, sunt distribuite independent și identic, așteptările lor matematice sunt finite:
Astfel, pe măsura creșterii mărimii eșantionului, funcția de distribuție empirică converge (în probabilitate) la una teoretică necunoscută.
Un rezultat mai general este adevărat, arătând că convergența funcției de distribuție empirică la funcția de distribuție teoretică are un caracter "uniform".
Teorema lui Glivenko # 151; Cantelli.
lăsa # 151; volumul probei dintr-o distribuție necunoscută cu o funcție de distribuție. lăsa # 151; Funcția de distribuție empirică a fost construită din această probă. atunci
Mai mult, în condițiile din Teoremele 1 și Glivenko # 151; Convergența Cantelli nu numai în probabilitate, dar și aproape sigur.
Dacă funcția de distribuție este continuă. apoi rata de convergență la zero în teorema Glivenko # 151; Cantelli are ordinea:
lăsa # 151; o probă de volum dintr-o distribuție necunoscută cu o funcție de distribuție continuă și a este o funcție de distribuție empirică. atunci
unde variabila aleatoare are o distribuție Kolmogorov cu o funcție de distribuție continuă
Următoarele proprietăți ale funcției de distribuție empirică # 151; Acestea sunt proprietăți bine cunoscute ale mediei aritmetice a termenilor independenți, care, în plus, au distribuția Bernoulli.
Primele două puncte indică faptul că o variabilă aleatoare are o așteptare matematică și varianță care scade ca. Al treilea element arată ceea ce converge la viteză.
1), adică # 151; "Nu părtinitoare"; 2); 3) dacă, atunci, adică # 151; "Estimare asimptotic normal" pentru; 4) variabila aleatoare are o distribuție binomială.
Dovada proprietății 1. Observăm din nou că distribuția Bernoulli are o distribuție, deci
1) Valorile aleatoare sunt distribuite în mod egal, deci unde este aceeași distribuție utilizată?
2) Variabile aleatoare, sunt distribuite independent și identic, deci unde este folosită independența?
4) Deoarece (numărul de succese într-un proces) are o distribuție Bernoulli, de ce? atunci are o distribuție binomică. de ce? și ce este summabilitatea?
REMARK 4. Toate definițiile, cum ar fi "evaluarea", "imparțialitatea", "coerența", "normalitatea asimptotică", vor fi date în capitolul 2. Dar sensul acestor termeni ar trebui să fie destul de clar acum.
Distribuția să fie absolut continuă, # 151; densitatea sa adevărată. Să presupunem că, în plus, numărul de intervale de grupare este independent de. Cazul în care este menționat în Remarca 1. Este adevărat
Teorema 4. Pentru orice
Exercitarea. Dovediți teorema 4. folosind (1) și WA.
Teorema afirmă că histograma zona coloanei construită pe intervalul de grupare, cu un volum mai mare de zona eșantionului se apropie de zona de sub graficul densității în același interval.
Media eșantionului este o estimare imparțială, consecventă și asimptotică normală pentru media teoretică (așteptări matematice):
1) Dacă, atunci. 2) Dacă, atunci la. 3) Dacă u nu este zero, atunci.
1). 2) Potrivit WBA sub formă de Khinchin ,.
Momentul selectiv este o estimare imparțială, consecventă și asimptotică normală pentru momentul teoretic:
Proprietate 3.1) Dacă, atunci. 2) Dacă, atunci la. 3) Dacă u nu este zero, atunci.
Exercitarea. Dovediți proprietatea 3.
În cele ce urmează nu vom discuta existența momentelor corespunzătoare. În special, în primele două paragrafe din următoarea afirmație, se presupune că există un al doilea moment în variabilele aleatoare, iar în al treilea paragraf # 151; al patrulea (variația valorii).
1) Variante selective și sunt estimări consecvente pentru variația adevărată:
. 2) Valoarea # 151; părtinitoare și # 151; estimare imparțială imparțială:
3) Variante de eșantionare și sunt asimptotic estimări normale ale varianței adevărate:
1) În primul rând, prin deschiderea parantezelor, este util să vă asigurați că