Să se ofere un sistem de vectori - dimensionali din spațiu.
Un vector al formei, pentru unele numere, se numește o combinație liniară a acestor vectori.
Exemplul 30. Pentru vectorii tridimensionali ai spațiului, vectorul este o combinație liniară de vectori și.
Un sistem de vectori este denumit linear independent. dacă din ce, întotdeauna urmează
în caz contrar, sistemul se numește dependență liniară.
Dependența liniară a vectorilor poate fi exprimată după cum urmează:
Chiar dacă vectorii sunt dependenți liniar, atunci cel puțin unul dintre numere (de exemplu) și Vector este o combinație liniară a vectorilor rămași. Astfel, sistemul
- vectorii sunt dependenți liniar dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este o combinație liniară a celorlalți.
Un sistem de vectori-spațiu dimensional depinde dacă și numai dacă rangul matricei a cărui rânduri sunt vectori ai sistemului este mai mic decât numărul lor. Dacă rangul matricei este exact egal cu numărul acestor vectori, acestea sunt liniar independente.
Rangul unui sistem de vectori este numărul maxim de vectori liniar independenți ai acestui sistem.
Exemplul 31. În spațiu, vectorii unității și sunt independenți liniar.
O bază a unui spațiu vector este orice sistem liniar independent de vectori prin care poate fi exprimat orice vector al spațiului. Bazele în spațiu pot fi un set infinit. Numărul de vectori în baza unui spațiu se numește dimensiunea sa.
Teorema 5. Un spațiu bazal-dimensional constă dintr-un vârf.
Dovada. Să arătăm independența liniară a sistemului de vectori
.
Scriem această ecuație în formă de coordonate
, prin urmare, vectori
Pentru un vector arbitrar, este evident că
. Astfel, vectorii formează o bază a spațiului.
Să presupunem că există o altă bază, a spațiului, unde ,, ..., u, adică numărul de vectori este mai mare decât n. Apoi, egalitatea deține, echivalentă cu sistemul
Numărul de ecuații ale sistemului este mai mic decât numărul de necunoscute, prin urmare rangul matricei sistemului de limitare nu poate fi mai mare decât n. prin urmare, sistemul de vectori este dependent de liniar și nu poate forma o bază. Teorema este dovedită.
Dacă se alege o anumită bază în spațiu, atunci pentru un vector arbitrar reprezentarea
Numerele se numesc coordonatele vectorului în bază. În diferitele baze ale spațiului, același vector va avea coordonate diferite.