§5. Integrarea unei funcții a unei variabile complexe de-a lungul unei curbe pe planul complex.
1. Dispoziții auxiliare. Bucla netedă. Integrali curviinieri de al doilea tip.
2. Definirea integrității unei funcții a unei variabile complexe.
3. Proprietățile f (z) dz.
Dispoziții subsidiare.
1) Curba netedă a piesei - Setul de puncte z = z (t) = x (t) + iy (t), unde t [a, b] este un parametru real. x (t), y (t) C [a, b]; x '(t), y' (t) sunt continuu în bucăți pe [a, b]; x '2 (t) + y' 2 (t) 0 - nu există puncte de întoarcere, nu există puncte de auto-intersecție. Dacă curba este închisă, atunci x (a) = x (b), y (a) = y (b).
2) Integrali cvirininiari ai celui de-al doilea tip de-a lungul curbei în planul (x, y).
Condițiile suficiente pentru existența unui integral curbilinar al celui de-al doilea tip sunt. o netedă netedă a curbei C, continuitatea în parte și limita funcțiilor P și Q.
Definiția de bază.
Integralul variabilei complexe f (z) = u (x, y) + iv (x, y) peste curba C a planului complex z este un număr complex. ale căror părți reale și imaginare sunt integrale curbiliniare de tipul celui de-al doilea, din părțile reale și imaginare ale f (z) formei:
f (z) dz = [u (x, y) + iv (x, y)] (dx + idy) = udx-vdy + i vdx + udy.
Note.
1) O condiție suficientă pentru existență este netezirea în bucăți a conturului C și continuitatea în formă de piesă și marginea lui | f (z) |.
2) Această definiție și definiția unui integral curbilinar al celui de-al doilea tip => $ Sn = f (z) dz; Sn = f (zi *) D zi. limita nu depinde nici de metoda de partiționare, nici de alegerea punctelor intermediare.
Proprietățile f (z) dz.
Deoarece valoarea integrala a conturului depinde de directia de integrare, sa acceptam ca directia pozitiva a bypass-ului de circuit sa ia directia in care regiunea interioara marcata de acest contur inchis ramane in stanga directiei de miscare. Integrarea în direcția pozitivă va fi marcată de simbolul τc + f (z) dz sau pur și simplu τ c f (z) dz, integrarea în direcția negativă este f (z) dz.
1) f (z) dz = - f (z) dz; 2) Liniaritate. 3) f (z) dz = f (z) dz + ┘ + f (z) dz.
4) | f (z) dz | | f (z) | ds MLc;
5) Calcularea integratului prin integrare în raport cu parametrul: f (z) dz = f [z (t)] z '(t) dt.
Un exemplu. = 2 p i. Rezultatul nu depinde nici de R 0., nici de z 0.
6) Înlocuirea variabilelor. Fie $ j (x): z = j (x); C<=> G pe planul x și j (x) C C (D) și univalent în D, unde D este regiunea planului x complex. conținând G.
= f (z) dz = f [j (x)] j '(x) d x.