1. Baronul Munchausen, întorcându-se de la călătoria în jurul lumii, spune că pe drumul său a traversat granița de la Trabzon exact de 7 ori. Ar trebui să am încredere în cuvintele lui?
Soluția. Rețineți că, după un număr par de intersecții, Munchausen va fi pe aceeași parte a frontierei ca și înainte. Din moment ce 7 este un număr impar, acest lucru nu poate fi.
2.
Soluția. De fiecare dată când unii doi panthers s-au ciupit unul pe celălalt, după fiecare manevră numărul de panthers a scăzut cu 2. La sfârșitul panterului nu a rămas, deci au fost numere chiar.
3. Un lăcustă sărind într-o linie dreaptă - de fiecare dată 1 metru spre stânga sau spre dreapta. După un timp a fost la punctul de plecare. Dovedeste ca a facut un numar par de salturi.
Soluția. Fie A punctul de plecare. Rețineți că, după fiecare salt, distanța până la punctul A modifică paritatea. Inițial, distanța este zero. Prin urmare, când cade din nou în punctul de plecare, va face un număr par de salturi.
4. Din setul de domino au aruncat toate oasele cu "suzete". Oasele rămase pot fi așezate în ordine după reguli?
Soluția. Rețineți că numărul de domino fără suzete este de 21 de puncte. Dacă domino-ul poate fi pus într-un rând, atunci numărul de domino-uri cu fiecare număr de puncte, cu excepția celor doi, este egal. Și nu este adevărat.
5. Băieții și fetele stau la masa rotundă. Dovedeste ca numarul de perechi de vecini este o fetita si chiar o fetita.
Soluția. Vom uni fiecare grup de băieți care stau la rând într-un singur băiat și fiecare grupă de fete stau la rând într-o singură fată. Apoi, deoarece copiii de același sex nu stau alături unul de altul, există un număr par de locuri între ei și, prin urmare, numărul de perechi necesare este egal.
6. Melcul se târăște de-a lungul planului cu o viteză constantă, rotind cu 90 ° la fiecare 30 de minute. Dovada că se poate întoarce numai la punctul de plecare: a) după un număr întreg de ore; b) dupa un numar par de ore.
Soluția. Rețineți că pentru a vă întoarce la punctul de plecare, trebuie să mergeți la aceeași distanță la stânga și la dreapta, precum și în sus și în jos. Lăsați melcul să urce o dată, și la stânga - b ori. Apoi a accesat cu crawlere 2,30 · a + 2 · 30 · b = 60 (a + b). Rezultă că a tresărit un număr egal de ore. Deoarece fiecare mișcare de-a lungul verticalului urmează o mișcare orizontală și invers, numerele a și b sunt de aceeași paritate. Prin urmare, melcul sa târât cu un număr egal de ore.
7. Pe tabla de șah sunt 8 roiuri, dintre care nici două nu se bat unii pe alții. Dovediți că numărul de vârfuri aflate pe câmpurile negre este egal.
Soluția. Numim numerele de la 1 la 8 vârfuri de la stânga la dreapta și respectiv orizontală de sus în jos. Suma coordonatelor unei celule este suma numerelor ei verticale și orizontale. Apoi lăsați suma coordonatelor celulelor negre să fie uniformă, atunci pentru celulele albe este ciudat. Rețineți că suma coordonatelor celulelor pe care sunt în picioare 8 coloane este egală (este egală cu dublul sumei de la 1 la 8). Dar atunci numărul de vârfuri care nu sunt celule albe este egal (suma coordonatelor celulelor albe este ciudată), astfel încât numărul de vârfuri pe celulele negre este egal.
8. Prin numarul de 17 cifre a fost adaugat numarul scos de acelasi numar, dar in ordine inversa. Dovedeste ca cel putin o cifra a sumei este echilibrata.
Soluția. Să presupunem că toate cifrele sumelor sunt ciudate. Să luăm în considerare două cazuri.
1) Suma primei și ultimei cifre a numărului este mai mică de 10. Este clar că în acest caz nu va exista o singură tranziție prin descărcare. Într-adevăr, să presupunem că în penultimul nivel o tranziție a avut loc printr-o duzină, dar apoi suma primei și ultimei cifre este uniformă, ceea ce este fals prin ipoteză. Continuând așa mai departe, primim o întrebare. Dar apoi, prin adăugarea cifrelor de mijloc ale numerelor, obținem un număr par.
2) Suma primei și ultimei cifre a numărului nu este mai mică de 10. Apoi, ajungem ca tranziția prin descărcare să se alterneze cu non-tranziția prin descărcare atunci când se deplasează de la dreapta la stânga. Dar în a zecea cifră nu va mai exista o tranziție, iar în al nouălea loc vor fi două cifre identice, adică va fi un număr par.