Seria numerică $ \ sum \ limits _ ^ u_ $, ale cărei termeni au semne arbitrare (+), (?), Se numește seria alternantă.
Seria alternativă considerată mai sus este un caz special al unei serii alternante; Este clar că nu fiecare serie alternativă este alternativă. De exemplu, seriile $ 1- \ frac - \ frac + \ frac + \ frac - \ frac - \ frac + \ ldots - $ sunt alternate, dar nu o serie alternativă.
Observăm că într-o serie alternativă de termeni, ambele cu semnul (+) și cu semnul (-) sunt infinit de multe. Dacă nu apare, de exemplu, seria conține un număr finit de termeni negativi, ele pot fi eliminate, și să ia în considerare seria constând numai din termeni pozitivi, și vice-versa.
Dacă seria numerică $ \ sum \ limits _ ^ u_ $ converge și suma este egală cu S, iar suma parțială este $ S_n $. R_ $ = S-S_ $ se numește restul seriei, cu $ \ mathop \ limits_ R_ = \ mathop \ limits_ (S-S_) = S-S = 0 $, adică, restul seriei convergente tinde la 0.
O serie $ \ sum \ limits _ ^ u_ $ se spune că este absolut convergentă dacă seria constând din valorile absolute ale termenilor lui $ \ sum \ limits_ ^ \ left | u_ \ right | converge; $.
Să investigheze seria de convergență condiționată și absolută
Soluția. Această serie este alternativ, termenul general care va fi desemnat: $ \ frac \ cdot 9 ^> = $ u_. Forma seria valorilor absolute ale $ \ sum \ limite _ ^ \ left | u_ \ dreapta | = \ Suma \ limitele _ ^ \ Frac> $ și să aplice testul d'Alembert lui. Forma limita $ \ mathop \ limits_ \ Frac >> $, în cazul în care $ a_ = \ Frac> $, $ a_ = \ frac> $. Efectuarea transformări, obținem $ \ mathop \ limits_ \ Frac >> = \ mathop \ limits_ \ frac \ cdot n! >> = \ mathop \ limits_ \ frac \ cdot 9 \ n cdot! >> = \ mathop \ limits_ \ frac = $ 0 ° C. Astfel, seria $ \ suma \ limite _ ^ \ left | u_ \ dreapta | = \ Suma \ limitele _ ^ \ frac> $ converge, și, prin urmare, sursa alternativă seria converge absolyutno.Otvet: o serie de $ \ sum \ limite _ ^ \ frac \ cdot 9> $ converge absolut.
Pentru a investiga seria de convergență absolută și condiționată $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot \ sqrt> $.
- Să investigăm seria pentru convergența absolută. Notăm $ \ frac \ cdot \ sqrt> = $ u_ și construi o serie de valori absolute de $ a_ = \ left | u_ \ dreapta | = \ frac> $. Obținem seria $ \ sum \ limits _ ^ \ left | u_ \ right | = \ sum \ limits _ ^ \, \ frac> $ cu termeni pozitivi, la care aplicăm limita de comparare a seriei. În comparație cu un număr de $ \ sum \ limite _ ^ a_ = \ sum \ limitele _ ^ \, \ Frac> $ considerăm numărul de care are forma $ \ suma \ limite _ ^ \, B_ = \ sum \ limite _ ^ \, \ frac> \, $. Această serie este seria Dirichlet cu exponent $ p = \ frac
- Apoi, examinați seria originală $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot \ sqrt> $ pentru convergența condiționată. Pentru aceasta verificăm îndeplinirea condițiilor testului Leibniz. Condiția 1): $ u_ = (- 1) ^ \ cdot a_ $, unde $ a_ = \ frac >> 0 $, adică această serie este alternantă. Pentru a verifica starea 2) asupra scăderii monotonice a termenilor seriei, vom folosi următoarea metodă. Luați în considerare funcția auxiliară $ f (x) = \ frac> $, definit pentru $ x \ in [0; \, + \ infty) $ (funcție astfel încât pentru $ x = n $ au $ f (n) = \ frac > = a_ $). Pentru a studia această funcție pe monotonicitate, găsim derivatul său: $ f '(x) = \ frac> - \ sqrt >> = \ frac (x + 1) ^> $. Acest derivat $ f '(x) 1 $. În consecință, funcția $ f (x) = \ frac> $ scade monotonic la valorile indicate de x. Setarea $ x = n f (n + 1) = a_ $, unde $ n = 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, \. $. Aceasta înseamnă că condiția 2) este îndeplinită. Pentru a verifica starea 3) găsim limita numărul total al membrilor $ a_ $: $ \ mathop \ limits_ \, a_ = \ mathop \ limits_ \ Frac> = \ mathop \ limits_ \ Frac + \ frac >> = 0 $, adică, a treia condiție este îndeplinită. Astfel, pentru seria inițială sunt îndeplinite toate condițiile testului Leibniz, adică converge.
Răspuns: seria $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot \ sqrt> $ converge condițional.