TOPOLOGIA este o ramură a matematicii care se ocupă de studierea proprietăților figurilor (sau spațiilor) care sunt păstrate sub deformări continue, cum ar fi, de exemplu, întinderea, stoarcerea sau îndoirea. Deformarea continuă este deformarea unei figuri, în care nu există nici o discontinuitate (adică o încălcare a integrității figurii) sau lipirea (adică identificarea punctelor sale). Astfel de proprietăți geometrice sunt legate de poziția și nu de forma sau dimensiunea figurii. Spre deosebire de geometriile Euclidian și Riemannian, geometria lui Lobachevski și alte geometrii care se ocupă de măsurarea lungimilor și unghiurilor, topologia are un caracter dezechilibrat și calitativ. Anterior, a fost numită "analiza Sith" (analiza situației), precum și "teoria seturilor de puncte". Topologia literatura științifică și populară adesea numită „geometrie, pe o foaie de cauciuc“, deoarece poate fi reprezentat vizual ca forme geometrice desenate pe o foi de cauciuc perfect elastice, care sunt supuse la tensiuni, compresiune sau îndoire. Topologia este una dintre cele mai noi secțiuni ale matematicii. Istoric. În 1640, matematicianul francez R. Decarte (1596-1650) a găsit o relație invariantă între numărul de vârfuri, muchii și fațete ale polyhedra simple. Această relație Descartes a exprimat formula V - E + F = 2, unde V - numărul de vârfuri, E - numărul de vârfuri și F - numărul de fețe. În 1752 matematicianul elvețian L. Eiler (1707-1783) a oferit o dovadă riguroasă a acestei formule. O altă contribuție a lui Euler la dezvoltarea topologiei este soluția faimoasei probleme a podurilor Koenigsberg. A fost o insulă pe râul Pregel din Koenigsberg (în locul unde râul este împărțit în două ramuri - vechi și noul pregel) și șapte poduri care leagă insula cu băncile. Sarcina era să aflăm dacă este posibil să ocolim toate cele șapte poduri de-a lungul unui traseu continuu, vizitând fiecare o singură dată și revenind la punctul de plecare. Euler a înlocuit secțiunile de teren cu puncte și poduri - cu linii. Configurația rezultată Euler a numit graficul, punctele - vârfurile și liniile - marginile. El a împărțit vârfurile în cele drepte și cele drepte, în funcție de numărul de perechi paralel sau par să părăsească vârful. Euler a arătat că toate marginile unui grafic pot fi ocolite exact o dată printr-o rută continuă închisă numai dacă graficul conține numai vârfuri. Din moment ce graficul din problema podurilor Koenigsberg conține numai noduri ciudate, este imposibil să ocolim podurile de-a lungul unui traseu continuu, vizitând exact fiecare o dată și revenind la începutul traseului. Soluția problemei podului Koenigsberg propusă de Euler depinde numai de aranjamentul reciproc al podurilor. A pus originea oficială a topologiei ca ramură a matematicii. K. Gauss (1777-1855) a creat o teorie a nodurilor, care mai târziu sa angajat în I. Listing (1808-1882), P.Tate (1831-1901) și J.Alexander. În 1840 A.Mobius (1790-1868) a formulat așa-numita problemă patru culori, care este ulterior investigat O.de Morgan (1806-1871) și A.Keli (1821-1895). Prima lucrare sistematică privind topologia a fost investigațiile preliminare privind topologia înregistrării (1874). Fondatorii topologiei moderne sunt G. Cantor (1845-1918), A. Poincaré (1854-1912) și L. Brauer (1881-1966). Secțiuni de topologie. Topologia poate fi împărțită în trei domenii: 1) topologia combinatorică, care studiază formele geometrice prin descompunerea lor în cele mai simple figuri, care se înconjoară regulat unul cu celălalt; 2) topologia algebrică care se ocupă de studiul structurilor algebrice legate de spațiile topologice, cu accent pe teoria grupurilor; 3) set-teoretic topologie studiat mai multe ca grupuri de puncte (în contrast cu metodele combinatoriale reprezintă un obiect ca o unire a obiectelor simple) și stabilite în ceea ce privește descrierea proprietăților topologice, cum ar fi deschiderea, evitantă, conexiune, etc. Desigur, această împărțire a topologiei în regiuni este oarecum arbitrară; mulți topologi preferă să aloce alte secțiuni în el. Unele concepte de bază. Un spațiu topologic constă dintr-un set de puncte S și o colecție. subseturile setului S care satisfac următoarele axiome: (1) întregul set S și setul gol aparțin colecției ?; (2) unirea oricărui set de seturi de la. există un set de ?; (3) intersecția oricărui număr finit de seturi de la. există un set de. Seturile incluse în set. se numesc seturi deschise, iar acest set în sine este o topologie în S. A se vedea SETĂRI DE TEORIE. O transformare topologică, sau homeomorfism, a unei figuri geometrice S în alta, S. este harta (p. P) a punctelor p de la S la p. din S. îndeplinind următoarele condiții: 1) corespondența stabilită între punctele S și S? este unul-la-unu; Fiecărui punct p din S corespunde doar un punct p? din S? și la fiecare punct p? se afișează doar un punct p; 2) maparea este reciproc continuă (continuu în ambele direcții); dacă se dau două puncte p, q din S și punctul p se deplasează astfel încât distanța dintre acesta și punctul q tinde la zero, atunci distanța dintre punctele corespunzătoare p. q? din S? de asemenea, tinde la zero, și invers. Figurile geometrice care trec peste ele în cadrul transformărilor topologice se consideră a fi homeomorfe. Cercul și limita de pătrat homeomorf, deoarece acestea pot fi transformate în fiecare alte transformări topologică (adică îndoire și întindere fără spargere sau lipire, de exemplu, se întinde o frontieră pătrat și un cerc descris în jurul acestuia). Sfera și suprafața cubului sunt, de asemenea, homeomorfe. Pentru a dovedi cifrele homeomorf, suficiente pentru a indica conversia corespunzătoare, dar faptul că unele cifre vom găsi o transformare nu reușește, nu dovedește că aceste cifre nu sunt homeomorf. Proprietățile topologice ajută aici. Proprietatea topologică (sau invariabilă topologică) a figurilor geometrice este o proprietate care, împreună cu o figură dată, este de asemenea posedată de orice figură în care trece printr-o transformare topologică. Orice set deschis conectat care conține cel puțin un punct este denumit zonă. Zona în care orice simplu închis (adică homeomorf cerc) Curba poate fi contractat până la un punct, rămânând tot timpul în această regiune se numește pur și simplu conectat și regiunea corespunzătoare caracteristică - este pur și simplu conectat. În cazul în care o curbă simplă închisă, această zonă nu poate fi contractat până la un punct, rămânând în permanență în acest domeniu, zona se numește multiplica, iar suprafața corespunzătoare a proprietății - o multiplica. Imaginați-vă două zone circulare sau discuri, una fără găuri și cealaltă cu găuri. Prima regiune este pur și simplu conectată, a doua este multiplă conectată. Conectivitatea unică și conectarea multiplă sunt proprietăți topologice. Un domeniu cu o gaură nu poate trece sub un homeomorfism într-un domeniu fără găuri. Este interesant de observat că dacă într-un disc multiplu conectat tragem de-a lungul unei tăieturi de la fiecare orificiu la marginea discului, atunci acesta devine pur și simplu conectat. Numărul maxim de curbe simple disjunte închise de-a lungul cărora este posibilă tăierea unei suprafețe închise, fără a se împărți în părți separate, se numește genul suprafeței. Genul este invariabil topologic al suprafeței. Se poate demonstra că sfera genului este zero torusului gen (o suprafață „gogoasa“) - una, tijă covrig (torus cu două găuri) - cele două, genul de găuri cu p egal cu p. Rezultă că nici suprafața cubului, nici sfera nu este homeomorfă pentru torus. Printre invarianții topologici de suprafață se mai numără și numărul laturilor și numărul marginilor. Discul 2 are o muchie laterală 1 și tip 2 este 0. Torr mână, are margini, iar acest gen este 1. concepte introduse mai sus permit să se clarifice definiția topologiei: topologie se numește o ramură a matematicii care studiază proprietățile, care persistă la Homeomorphism. Probleme și rezultate importante. Teorema Jordanului pe o curbă închisă. Dacă o curbă simplă închisă este trasă pe suprafață, există o proprietate a curbei care este păstrată atunci când suprafața este deformată? Existența unei astfel de proprietăți rezultă din următoarea teoremă: o curbă simplă închisă în plan împarte avionul în două regiuni, interioare și exterioare. Această teoremă aparentă aparentă este evidentă pentru curbe de un tip simplu, de exemplu, pentru un cerc; Cu toate acestea, pentru polilinii închise complex situația este diferită. Teorema a fost formulată și dovedită pentru prima oară de K. Jordan (1838-1922); totuși, dovada lui Iordan a fost eronată. Dovezi suficiente au fost propuse de O. Veblen (1880-1960) în 1905. Teorema lui Brauer pe un punct fix. Fie D o regiune închisă formată dintr-un cerc și interiorul său. Teorema lui Brauer afirmă că pentru orice transformare continuă care ia fiecare punct al domeniului D în punctul aceleiași regiuni, există un punct care rămâne fix în această transformare. (Transformarea nu se presupune a fi unu-la-unu.) Teorema punctului fix Brouwer este de interes deosebit deoarece pare a fi teorema topologică cel mai adesea folosită în alte secțiuni ale matematicii. Problema a patru culori. Problema este: poate orice hartă să fie vopsită în patru culori, astfel încât oricare două țări care au o graniță comună să fie vopsite în culori diferite? Problema celor patru culori este topologică, deoarece nici forma țărilor, nici configurația limitelor nu au nici o importanță. Ipoteza că patru culori suficient pentru colorarea corespunzătoare a oricărui card, a fost propus pentru prima dată în 1852. Experiența a arătat că cele patru culori este de ajuns într-adevăr, dar o dovadă matematică riguroasă nu a reușit să treacă peste o sută de ani. Și numai în 1976, K. Appel și V. Haken de la Universitatea din Illinois, după ce au petrecut mai mult de 1000 de ore de program de calculator, au obținut succes. Suprafețe unilaterale. Suprafața mai simplă cu o singură față este o bandă Mobius, numit după A.Mobiusa care a descoperit de proprietăți topologice extraordinare în 1858. Fie ABCD (figura 2a.) - o bandă dreptunghiulară de hârtie. Dacă lipiți punctul A cu punctul B și punctul C cu punctul D (figura 2, b), obțineți un inel cu o suprafață interioară, o suprafață exterioară și două margini. O parte a inelului (figura 2, b) poate fi vopsită. Suprafața pictată va fi limitată de marginile inelului. Gândacul poate face o "călătorie în jurul lumii" de-a lungul inelului, rămânând fie pe suprafața vopsită, fie pe cea nevopsită. Cu toate acestea, în cazul în care banda, înainte de lipirea capetelor tăiate într-o jumătate de tură și punctul de adeziv A la punctul C și B cu D, obținem o bandă Mobius (fig. 2c). Această cifră are doar o suprafață și o margine. Orice încercare de a picta doar o parte a frunzei Mobius este sortită eșecului, deoarece foaia Mobius are doar o parte. Gândacul, care coboară în mijlocul frunzei Mobius (fără a traversa marginile), se va întoarce la punctul de plecare în poziția "cu capul în jos". Când taie o foaie Mobius de-a lungul liniei de mijloc, ea nu se descompune în două părți. Nodurile. Nodul poate fi imaginat ca o bucată de funie subțire, cu capete legate, situate în spațiu. Cel mai simplu exemplu este de a face o buclă dintr-o bucată de frânghie, treceți unul dintre capetele sale prin buclă și conectați capetele. Ca rezultat, obținem o curbă închisă care rămâne topologică la fel, indiferent de modul în care se întinde sau răsucește, fără a rupe și lipi împreună puncte individuale. Problema clasificării nodurilor de către un sistem de invarianți topologici nu a fost încă rezolvată.
Puteți pune un link la acest cuvânt:
va arata astfel: TOPOLOGY