Volumul de lichid care curge prin această zonă în timpul unui timp dt. este egal cu v d S d t. Dacă situl este înclinat la debit, atunci volumul corespunzător va fi v d S cos θ d t. unde θ - unghiul dintre vectorul viteză v → n → și normala la pad d S. volumul de fluid care curge prin S zona d pe unitatea de timp se obține împărțind această valoare pentru d t. Este egal cu v d S cos θ d t. și anume produsul scalar v → ⋅ d S → vectorul vitezei v → vectorul elementului de suprafață d S → = n → d S. Unitatea vectorului n → normală cu situl d S poate fi desenată în două direcții opuse. unul dintre ele este condiționat ca fiind pozitiv. În această direcție se efectuează normalul n →. Partea zonei din care frunza normală n →. este numit extern, iar cel în care n → normalul intră este intern. Vectorul elementului de zonă d S → este direcționat de-a lungul exteriorului normal n → la suprafață și în dimensiune este egal cu aria elementului d S = # x2223; d S → # x2223 ;. Atunci când se calculează volumul unui lichid care curge printr-o zonă S de dimensiuni finite, ea trebuie dezvoltată în zone infinitezime d S. Apoi se calculează integrarea ∫ S v → ⋅ d S → pe întreaga suprafață S.
Expresii de tip ∫ S v → ⋅ d S → apar în multe ramuri ale fizicii și matematicii. Ele sunt numite fluxul vectorului v → prin suprafața S, indiferent de natura vectorului v →. În electrodinamică, integrala
N = ∫ S E → ⋅ d S →
se numește fluxul de intensitate a câmpului electric E → printr-o suprafață arbitrară S. Deși acest concept nu implică nici un flux real.
Să presupunem că vectorul E → este reprezentat de suma geometrică
E → = Σ j E → j.
Înmulțirea acestei ecuații scalar cu d S → și integrarea, obținem
unde N j este fluxul vectorului E → j prin aceeași suprafață. Astfel, rezultă din principiul suprapunerii intensității câmpului electric care curge prin aceeași suprafață și se adaugă algebric.
Teorema lui Gauss afirmă că vectorul flux E → printr-o suprafață închisă arbitrar este egal cu tt înmulțit cu 4 sarcină Q netă a particulelor în interiorul suprafeței:
# x222E; S E → ⋅ d S → = 4 π Q.
Vectorul elementului de suprafață d S → este îndreptat de-a lungul normalei exterioare la volumul unde se concentrează sarcina Q (Figura 1.5).
Este evident că fluxurile prin segmente ale unei suprafețe închise, susținute de unghiuri solide egale, dar confruntate în direcții opuse, se anulează reciproc. Este de asemenea evident că, dacă încărcarea se face în afara unei suprafețe închise, atunci orice segment orientat spre exterior va avea un segment inversat corespunzător.
3. În final, folosind principiul suprapunerii, ajungem la formularea finală a teoremei Gauss (5.2). Într-adevăr, domeniul sistemului este suma taxelor fiecărui domeniu de încărcare în mod individual, dar în partea dreaptă a teoremei (5.2) permite modificări de contribuții numai nenule în interiorul suprafeței închise. Aceasta încheie dovada.
În corpurile macroscopice, numărul de suporturi de încărcare este atât de mare încât este convenabil să reprezinte un ansamblu discret de particule sub forma unei distribuții continue, introducând noțiunea de densitate a sarcinii. Prin definiție, densitatea de sarcină ρ este raportul δ Q # x2215; δ V în limita când volumul δ V tinde la o cantitate fizic infinitezimală:
ρ = lim δ V → 0 δ Q δ V = d Q d V.
Fizic este volumul infinitezimal care este mică în comparație cu alte dimensiuni macroscopice ale problemei, dar este suficient de mare în comparație cu distanța dintre particule, în acest caz, particulele încărcate. Folosind densitatea de sarcină, teorema Gauss poate fi rescrisă în formă
# x222E; S E → ⋅ d S → = 4 π ∫ V ρ d V.
unde integrarea pe partea dreaptă se face pe volumul V de suprafața închisă S.
Teorema Gauss oferă o ecuație scalară pentru cele trei componente ale vectorului E →. prin urmare, nu este suficient să se calculeze un câmp electric pentru această teoremă. Necesită o simetrie bine cunoscută a distribuției densității tarifelor ca sarcina ar putea fi reduse la o singură ecuație scalară. Teorema lui Gauss ne permite să găsim terenul în cazurile în care integrala de suprafață în (5.4) pot fi alese astfel încât câmpul electric E este constantă pe întreaga suprafață. Să luăm în considerare exemplele cele mai instructive.
# x25B8; Sarcina 5.1
Găsiți câmpul unei sfere încărcate uniform în ceea ce privește volumul sau suprafața.
Soluție: Câmpul electric al unei sarcini punctuale E → = q r → # x2215; r 3 tinde spre infinit ca r → 0. Acest fapt arată inconsecvența reprezentării particulelor elementare prin sarcini punctuale. Cu toate acestea, dacă încărcătura q este uniform distribuită pe volumul unei sfere de rază finită a. atunci câmpul electric nu are singularități.
Este evident din simetria problemei că câmpul electric E → este direcționat radial peste tot și forța lui E = E (r) depinde doar de distanța r până la centrul mingii. Apoi, curgerea câmpului electric printr-o sferă cu raza r este pur și simplu 4 π r 2 E (Figura 1.8).
Calcularea câmpului unei sfere încărcate simetric prin intermediul teoremei Gauss
Pe de altă parte, taxa în aceeași sferă este egală cu totalul mingea taxa Q. dacă R ≥ a. Ecuația 4 π r 2 E la sarcina multiplicată de 4 π a bilei q. obținem: E (r) = q # x2215; r2.
Astfel, în spațiul cosmic o sferă încărcată creează un asemenea câmp ca și cum întreaga încărcătură ar fi concentrată în centrul său. Acest rezultat este valabil pentru orice distribuție de sarcină simetrică sferică.
Câmpul din sferă este egal cu E (r) = Q # x2215; r 2. unde Q este sarcina în interiorul sulfului de raza r. Dacă încărcarea este uniform distribuită peste volumul sferei, atunci Q = q (r # x2215; a) 3. În acest caz
E (r) = q r # x2215; a 3 = (4 π # x2215; 3) ρ r.
unde ρ = q # x2215; (4 π a 3 # x2215; 3) este densitatea sarcinii. În interiorul sferei, câmpul coboară liniar de la valoarea maximă de pe suprafața mingii la zero la centrul său (Figura 1.8).
Câmpul este uniform sferic, încărcat uniform în volum (1), de-a lungul suprafeței (2), și câmpul unei sarcini punct de aceeași mărime.
Funcția E (r) este peste tot finită și continuă.
În cazul în care taxa este distribuită pe suprafața sferei, atunci Q = 0. și, prin urmare, de asemenea, E = 0. Acest rezultat este, de asemenea, valabil pentru cazul în care taxele din interiorul cavității sferice există și cheltuieli externe distribuite spherically simetrice. # x25B8; Sarcina 5.2
Găsiți câmpul unui fir infinit încărcat uniform; raza firei a. taxa pe unitate de lungime # x03F0;
# x25B8; Problema 5.3
Găsiți câmpul unui fir infinit drept și un cilindru infinit de lung, uniform încărcat.
# x25B8; Sarcina 5.4
Găsiți câmpul unui plan încărcat infinit și un strat de plan infinit încărcat uniform.
Soluție: Datorită simetriei problemei, câmpul este îndreptat de-a lungul normalului spre strat și depinde doar de distanța x de la planul de simetrie al plăcii. Pentru a calcula câmpul folosind teorema Gauss, este convenabil să alegeți suprafața de integrare S sub forma unui paralelipiped, așa cum se arată în Fig. 1.10.
Calcularea câmpului unui strat plan cu ajutorul teoremei Gauss
Apoi, numai integralele deasupra celor două fețe opuse ale paralelipipedului, care este paralelă cu stratul, este nenuloasă. Argumentând ca și în problema precedentă, găsim: E (x) = - 4 π ρ a # x000A0; cu # x000A0; x ≤ - a. 4 π ρ x # x000A0; cu # x000A0; # x2223; x # x2223; ≤ a. 2 π ρ a # x000A0; cu # x000A0; x ≥ a.
În afara stratului, câmpul este omogen (nu depinde de x) și coincide cu câmpul planului infinit (Figura 1.11): E (x) = - 2 π σ pentru x <0. E ( x ) = + 2 π σ при x> 0.
Câmpul unui strat planic infinit (1) și al unui plan infinit (2).
Ultimul rezultat este obținut limitarea procesului a → 0 în timp ce creșterea densității de încărcare, astfel care p încât valoarea sigma = ρ a rămas neschimbată. Pe laturile opuse ale planului, intensitatea câmpului electric este aceeași în mărime, dar opusă în direcție. Prin urmare, atunci când treceți printr-un plan încărcat, câmpul sare brusc cu 4 π σ. Observăm că o placă poate fi considerată infinită dacă distanța dintre ele este neglijabilă în comparație cu dimensiunile ei. La distanțe foarte mari în comparație cu dimensiunile plăcii acționează ca un punct de încărcare și câmpul, scade invers proporțional cu pătratul distanței.