Dacă problema găsirii soluțiilor unei ecuații diferențiale poate fi redusă la un număr finit de operații algebrice, operații de diferențiere și integrare a funcțiilor cunoscute, atunci se spune că ecuația diferențială este integrată în quadraturi.
În aplicații, ecuațiile sunt extrem de rare. integrabil în quadratures. Pentru a studia și rezolva ecuații care nu se integrează în quadrature, folosim metode numerice pentru rezolvarea problemei Cauchy.
Soluția numerică a problemei Cauchy y '= f (x, Y), y (a) = y 0 pe intervalul [a. b] este să construim un tabel cu valori aproximative y 0. y 1. y i. y N a soluției y = y (x), y (xi) ≈ y i.
O metoda numerica pentru rezolvarea unei probleme Cauchy se spune ca este o solutie in faza in care informatia despre solutia de la punctul x0 este folosita pentru a calcula solutia la punctul x0 + h.
Metoda cea mai simplă într-o singură etapă pentru soluția numerică a problemei Cauchy este metoda Euler. În metoda Eulerian, valorile y i se calculează cu formula: y i +1 = yi + h · f (xi. Yi):
y '= f (x, y), y (a) = y 0. x ∈ [a. b],
Pentru eroarea metodei Euler, la un moment dat estimarea
și pentru a estima eroarea soluției pe întreg intervalul [a. b] este corect
Pentru o estimare eronată practică se poate recomanda regula Runge: se calculează cu pasul h - se calculează valorile lui y (h) i. apoi se fac calcule cu o jumătate de pas h / 2 - se calculează valorile y (h / 2) i.
Pentru a estima eroarea în calcule cu pasul h / 2,