In acest tutorial, afla ce unghiul este numit un unghi central, care - înscris, vorbim despre arcele circulare, în care sunt măsurate, se familiarizeze cu teorema unghiului înscris și a consecințelor sale, ia în considerare sarcina lecției.
Dacă două puncte A și B sunt marcate pe cerc, acestea vor împărți cercul în două arce. Pentru a distinge aceste arce unele de altele, punctele A și B marchează puncte suplimentare, de exemplu M și L.
În geometrie, arcele sunt desemnate ca: ⌣ AMB și ⌣ ALV.
Orice diametru împarte un cerc în două arce, aceste arce sunt numite semicercuri.
Unghiul cu vârful din centrul cercului se numește unghiul central al cercului.
În figură, unghiul AOB este central, deoarece vârful său este centrul cercului.
Arcul cercului este măsurat în grade.
Dacă arcul unui cerc este mai mic decât un semicerc sau este semicerc, măsura gradului său este egală cu măsura gradului unghiului central.
În această figură, arcul cercului este mai mic decât semicercul - măsura gradului arcului ALV este egală cu măsura gradului unghiului central AOB: ⌣ ALB = ∠AOB.
Cealaltă figură este un semicerc arc - grad de măsură arc ALV puțin egal cu unghiul central de grade, care este desfăcută, și, astfel, este de 180 °. Prin urmare, măsura gradului semicercului este de 180 °.
Dacă arcul este mai mare decât un semicerc, atunci măsura gradului său este egală cu diferența de 360 ° și măsura gradului unghiului central: ⌣ AMB = 360 ° - AOB.
Acum ne întoarcem la noțiunea de "unghi inscripționat".
Unghiul a cărui vârf se află pe cerc, iar laturile traversează cercul, se numește unghiul inscripționat.
În figură, unghiul ABC este inscripționat, deoarece vârful său se află pe cerc, iar laturile îl traversează. În acest unghi este un arc de AMC.
Se spune că unghiul inscripționat al ABC se bazează pe arcul AMC.
Să demonstrăm teorema privind unghiul înscris.
Unghiul înscris este măsurat prin jumătatea arcului pe care este susținut.
∠ABC este unghiul inscripționat al cercului cu centrul din punctul O, susținut de arcul AC.
Unghiul ABC este egal cu jumătate din arcul AC, adică ∠AAB = ½⌣ UA
Pentru dovada este necesar să se ia în considerare trei cazuri posibile de amplasare a razei BO în raport cu unghiul ABC.
Raza BO coincide cu una din laturile unghiului ABC, de exemplu cu partea BC.
Apoi, arcul AC este mai mic decât un semicerc, deci unghiul central al AOS este egal cu măsura gradului arcului AC: ∠ACC = ⌣ AC
Unghiul AOC este colțul exterior al triunghiului AOB, iar unghiul exterior al triunghiului este egal cu suma unghiurilor triunghiului care nu sunt adiacente acestuia, adică ∠AO = ∠1 + ∠2.
triunghi isoscel AOB (OA și OB - razele de aceeași circumferință) și în colțurile unui triunghi echilateral, la bază egală, adică ∠1 = ∠2.
Și așa ∠AO = ∠1 + ∠2 = 2∠1.
Aceasta implică 2∠1 = ⌣ AC sau ∠ABC = ∠1 = ½⌣ AC.
Radiația BO împarte unghiul ABC cu două unghiuri.
Apoi, raza BD intersectează arcul AC într-un anumit punct D.
Acest punct împarte arcul AC în două arce: ⌣ AD și ⌣ DC.
Din 1 caz dovedit pentru unghiurile inscrise ABD și DVC, egalitatea este următoarea: ∠ABD = ½⌣ AD și ∠DBC = ½⌣DС.
∠AAB = ∠ABD + ∠DVC = ½⌣ AD + ½⌣ DC = ½⌣ AC.
Raza DO nu împarte unghiul ABC în două unghiuri și nu coincide cu partea acestui unghi.
Apoi ∠ABC = ∠ABD - ∠DBC = ½⌣ AD - ½⌣ DC = ½⌣ AC.
După cum este necesar pentru a dovedi.
Doi corolari rezultă din teorema privind unghiul înscris.
Nivelele inscripționate pe același arc sunt egale.
Unghiul înscris, așezat pe semicerc, este drept.
Corolarul 1 ne permite să demonstrăm teorema privind produsul dintre intervalele de coarde intersectate.
Dacă se intersectează două coarde dintr-un cerc, atunci produsul segmentului unui coardă este egal cu produsul din segmentele celuilalt coardă.
Cerc, AB și CD sunt acorduri care se intersectează la punctul E.
Luați în considerare triunghiurile AED și CEB.
∠1 = ∠2, deoarece aceste unghiuri sunt înscrise și sunt susținute de același arc BD;
∠3 = ∠4, ca unghiuri verticale,
Aceasta înseamnă că triunghiurile AED și CEB sunt similare în primul semn al asemănării triunghiurilor.
În triunghiuri similare, laturile similare sunt proporționale, adică
Luați în considerare soluția problemei.
Coardele AB și CD se intersectează la punctul E.
Lungimea segmentului este AE = 9 cm, CE = 8 cm.
Lungimea segmentului ED este de 5 cm mai lungă decât lungimea segmentului BE.
Găsiți lungimile acordurilor AB și CD.
ED> BE pe 5 cm
Pentru a rezolva problema, vom folosi teorema pe produsul de segmente de acorduri intersectate; AE · BE = CE · DE.
Fie BE = x, apoi ED = x + 5.
Înlocuind datele în ecuația AE + BE = CE · DE, obținem 9x = 8 (x + 5).
Rezolvând ecuația, obținem x = 40 cm, adică BE = 40 cm, ED = 45 cm.
Apoi coarda AB = AE + BE = 9 + 40 = 49 cm, CD = CE + ED = 8 + 45 = 53 cm.
AB = 49 cm, CD = 53 cm.
În această lecție au fost introduse la unghiuri centrale și inscriptionate, a demonstrat o teoremă despre unghiul înscris și o teoremă pe produs segmentelor de acorduri se intersectează, și a considerat sarcina lecției.
1. L.S. Atanasyan Textbook 8 clasa