Seriale care conțin atât termeni pozitivi, cât și termeni negativi sunt numiți alternativi.
Să se dea o serie alternativă
Considerăm seria pozitivă a semnelor constând în modulele termenilor seriei (4):
Seria (4) converge dacă seria (5) converge. În acest caz, seria (4) este numită absolut convergentă. Dacă seria (4) converge și seria (5) diverg, atunci seria (4) se spune că este convergentă condiționată.
Un caz special al seriei alternante este seria alternativă
în care termenii pozitivi și negativi se urmează reciproc.
Pentru seria convergentă semn, există un semn suficient de convergență.
Seria alternativă (6) converge dacă:
1. Secvența valorilor absolute ale termenilor seriei scade monotonic, adică.
2. Termenul general al seriei tinde la zero, adică.
Mai mult, restul Rn = S-Sn nu depășește primul termen aruncat în modul, adică,
Considerăm seria ale cărei termeni sunt funcții de putere:
Astfel de serii se numesc serii de putere. iar numerele ai (i = 0, 1, 2, ...) sunt coeficienții acestei serii de putere.
Setul acelor valori ale lui x. pentru care converge seria de putere (7), se numește domeniul convergenței acestei serii de putere.
Numărul R este numit raza de convergență a seriilor (7), dacă pentru toate x. satisface inegalitatea. seria (7) converge, dar pentru toate x. satisface inegalitatea. - Diversiune.
Raza de convergență R este determinată de formula
Intervalul (-R; R) se numește intervalul de convergență al seriei (7).
Pentru x = R, x = -R, seriile (7) pot fie converg sau diverg. Chestiunea convergenței seriei (7) în aceste puncte este rezolvată prin studii suplimentare.
O serie este numită seria Maclaurin pentru funcția f (x).
Oferim următoarele extinderi cunoscute de funcții într-o serie Maclaurin:
1. domeniul convergenței.
2. sinx = domeniul de convergență.
3. domeniul convergenței.
4. Domeniul convergenței (-1; 1).
5. domeniul convergenței (-1; 1).
6. + ..., domeniul convergenței
[-1; 1].
Întrebări pentru auto-examinare
1. Ce se numește o serie numerică, membrii seriei? Dați exemple.
2. Ce vrei să spui prin valoarea seriei? Ce serie este numită convergentă?
3. Menționați divergența seriei în termenul termenului general.
4. Dați definiția seriilor armonice generalizate. Pentru ce p converg?
5. Formulează primul și al doilea semne de comparație. Care este caracterul și diferența lor?
6. Formulează un criteriu suficient pentru convergența seriei alternante. Cum se calculează suma termenilor seriei alternante cu gradul de acuratețe specificat?
7. Ce se numește o serie de putere? Ce vrei să spui prin punctul de convergență al acestei serii?
8. Care este raza de convergență a unei serii de putere și cum să o determinăm?
9. Cum se deosebește domeniul convergenței de intervalul de convergență al unei serii de putere?
10. Ce proprietati de baza ale seriei de putere stiti?
11. Ce vrei să spui prin seria Maclaurin? Cum să extindeți funcțiile din această serie?
12. Care sunt descompunerile funcțiilor elementare dintr-o serie Maclaurin pe care o cunoașteți?
Scrieți o serie de putere într-un termen general dat
Găsiți domeniul de convergență al acestei serii.
Soluția. Pentru n = 0 obținem termenul liber a0 = 1 din seria dată, cu n = 1, termenul. pentru n = 2, termenul și așa mai departe.
Avem următoarea serie:
Observăm raza de convergență a unei serii date. Avem:
În consecință, (-7; 7) este intervalul de convergență al seriei. Să investigăm comportamentul seriei la sfârșitul intervalului de convergență, adică pentru x = -7,
x = 7.
Să presupunem că x = -7. Apoi seria de putere are forma
Deci, cum. atunci seria se diferențiază (o condiție suficientă pentru divergența seriei de numere).
Fie x = 7. Obținem următoarea serie alternativă:
Această serie diferă, deoarece nu există o limită a secvenței 1,0,1,0 ... sume parțiale din această serie.
Astfel, (-7; 7) este domeniul convergenței unei serii de putere date.
Calculați integralele definite cu până la 0,001, utilizând extensia integrand din seria Maclaurin.
Soluția. Utilizăm extinderea funcției e x:
Înlocuind x cu. obținem:
Înmulțind ambele fețe ale ultimei egalități cu x. vom avea:
Obținem seria alternativă. Pe baza testului lui Leibniz avem:
Prin urmare, seria converge. Pe această bază, primul termen aruncat este modulo mai mic decât un + 1. Dacă un + 1 este luată modulo mai mică decât 0,001, atunci de la un + 1 <0,001 следует, что остаток Rn меньше 0,001. Имеем:
Prin urmare, primul termen aruncat.
Astfel, cu o precizie de 0,001
4. Sarcini 6 și 7
pe tema "Ecuații diferențiale obișnuite"