17.3. Determinați lungimea curbei. Curbe drepte
Lungimea curbei este limita superioară a lungimilor liniilor întrerupte înscrise în această curbă. Să formulăm această definiție în detaliu. Introducem mai întâi noțiunea de partiție a unui interval - un concept care va fi întâlnit în mod repetat în ceea ce urmează.
Definiția 2. Pentru intervalul [a, b], fiecare sistem de puncte ti. i = 0, 1, 2. ir. astfel încât
se numește partiția sa.
Să fie dat o curbă
și să fie o partiție a lui [a, b]. Am stabilit
adică lungimea unei linii poligonale cu vârfuri la punctele Mi. care sunt punctele finale ale vectorilor de rază r (ti), i = 0, 1, 2. ir. cu alte cuvinte, o linie întreruptă înscrisă în curba Γ (Figura 93).
Definiție 3. Limita superioară a lungimilor tuturor liniilor posibile înscrise într-o curbă dată se numește lungimea acesteia.
Astfel, lungimea SG a curbei Γ este dată de
unde limita superioară este preluată de toate partițiile posibile ale lui [a, b]. Evident, 0
Teoremă 1. Dacă curba Γ = r (t); o
Mai întâi de toate, observăm că, având în vedere continuitatea pe intervalul [a, b] al derivatului r '(t), funcția numerică | r' (t) | este, de asemenea, continuă pe acest interval și, prin urmare, este limitată și o ia pe cea mai mare valoare. Prin urmare, există un număr <+ .
Facem o partiție a intervalului [a, b]. Apoi, folosind identitatea vectorului evident
și aplicând teorema 1 din §16.2, obținem
unde ti -1
Trecând în această inegalitate la limita superioară peste toate partițiile posibile ale intervalului [a, b], obținem, prin definiția (17.19), inegalitatea (17.20)
Prin urmare, SG <+ , т. е. кривая Г спрямляема.
Teoremă 2. Dacă curba Γ = r (t) = (x (t), y (t), z (t)); o
unde c este cea mai mare valoare a lui | r '(t) | pe segmentul cu capete la punctele t și t + t. Indicați prin = (t) punctul din acest interval în care
REMARK 1. Dacă lungimea arcurilor curbei Γ este măsurată de la capătul ei, atunci = Г - s și, în consecință,
d / ds = -1, prin urmare
Observație 2. Dacă o curbă continuă diferențiabilă Γ = r (t); o
(a, b)), adică, Γ este o curbă netedă, atunci, prin Teorema 2, lungimea variabilă a arcului s = s (t) măsurată de la originea M (a) a curbei Γ, este o functie continuu crescuta continuu diferentiabila cu un derivat care este pozitiv la toate punctele din intervalul [a, b]: s (t) = | r '(t) |> 0.
Și din moment ce s (a) = 0, s (b) = Sr. atunci funcția inversă t = t (s) este unică, cu o creștere strictă, continuu diferențiată pe intervalul [0, Sr] și
Astfel, pentru fiecare curbă netedă, parametrul său este o funcție de creștere variabilă continuu a lungimii variabile a arcului, iar derivatul acestei funcții nu dispare nicăieri.
În consecință, funcția t = t (s) este o transformare admisibilă a parametrilor în sensul §17.1 și, prin urmare, pe o curbă netedă, putem lua lungimea variabilă a arcilor ca parametru. Din ceea ce sa spus, rezultă de asemenea că derivatul
Vectorul dr / ds diferă numai în factorul numeric dt / ds din vectorul tangent dr / dt 0 și, prin urmare, este direcționat și de-a lungul tangentei. Să demonstrăm că vectorul dr / ds este un vector unic.
Teorema 3. Dacă pe curba Γ = r (s); 0
Din formula (17.24) pentru t = s avem
Deoarece lungimea unui arc poate fi luată ca un parametru pe o curbă netedă, formula (17.32) este valabilă pentru curbe netede.
Să explicăm sensul geometric al ecuației (17.32).
Un segment care unește două puncte ale unei curbe se numește o coardă. contractând un arc de curbă cu puncte finale la aceste puncte. Să presupunem că curba Γ este netedă și r (s), 0
pentru s 0 avem
adică raportul dintre lungimea coardei și lungimea arcului contractat de ea tinde spre unitate atunci când s 0.
Observația 3. Coordonatele oricărui vector de unitate sunt direcțiile cosinilor de unghiuri pe care le formează cu axele de coordonate. Prin urmare, dacă denotăm și unghiurile care formează cu axele de coordonate ale variabilelor x. y și z sunt vectorul unitar dr / ds.