se spune că este continuă dacă x (t), y (t), z (t) sunt continue. (Puteți defini continuitatea într-un punct sau pe un set).
Pentru o anumită parametrizare Î[A. b] începutul curbei - punctul A (x (a), y (a), z (a)), la sfârșitul curbei - punctul B (x (b), y (b), z (b)).
O curbă închisă este o curbă. la care sfârșitul coincide cu începutul.
Se știe că o curbă poate fi diferențiată continuu dacă funcțiile x (t), y (t), z (t) sunt continuu diferențiate.
Smooth este o curbă care poate fi diferențiată continuu și satisface condiția "t. R ¢ (t) 0.
O curbă netedă pe o bucată este o curbă care este continuă și constă dintr-un număr finit de bucăți netede.
5.2 Lungimea curbei
Lungimea curbei. Care se poate rectifica.
figura pentru un caz plat
Definiția. O curbă g se spune că este rectificabilă dacă cea mai mică limită superioară este finită. unde cea mai mică limită superioară este preluată de toate partițiile posibile D ale lui [a, b]. Această cantitate s este numită lungimea curbei g.
Un exemplu de curbă continuă, nerectifizabilă.
Lungimea bazei dreptunghiului următor este egală cu jumătate din lungimea bazei dreptunghiului adiacent spre dreapta. Numărul de linkuri ale unei linii întrerupte înscrise într-un dreptunghi este luată astfel încât lungimea segmentului liniei întrerupte care intră în dreptunghi este> 1.
Teorema 1. O curbă compusă din două curbe rectificabile este rectificabilă și lungimea ei este egală cu suma lungimilor componentelor originale.
Dovada. Fie g = g ¢ + g ¢. Pentru orice razbieniyaDkrivoygsuschestvuyut razbieniyaD ¢, D ¢¢ ¢ krivyhg, g ¢¢ astfel încât s (g. D) £ s (g ¢. D ¢) + s (g ¢¢. D ¢¢). Cifra la intersecția dintre cele două curbe coardă porțiunea AB se înlocuiește cu două acorduri AC și CB. Toate celelalte partiții polifonice rămân neschimbate curba g
Deoarece AB £ AC + CB, aceasta dă raportul dintre lungimile curbelor pentru s £ s ¢ + s ¢¢ Pe de altă parte, orice Parad ¢, D ¢¢ descompunerile curbe g ¢, g ¢¢ forme razbienieDkrivoyg deoarece SD (g. D) = s (g ¢. D ¢) + s (g ¢¢. D ¢¢). astfel încât inegalitatea inversă s ³ s ¢ + s ¢¢.
Teorema 2. Dacă curba g este continuabil de diferențiat, atunci ea este rectificabilă și lungimea ei satisface inegalitatea
Pentru suprafața superioară obținem (b - a) £ s (b - a).
De aici rezultă inegalitățile necesare.
Teorema 3 Dacă curba g este netedă, atunci lungimea arcului s (t) de la începutul curbei la un punct care corespunde valorii parametrului t, este o funcție în mod continuu diferențiabilă strict monoton crescătoare și
Dovada. În secțiunea [t, t + Dt], de Teorema 2 inegalitățile
egalitate necesară va trece la limita priDt ®0, având în vedere că părțile stânga și dreapta (1) au un predelNaprimer comun, strict monotonă creștere a funcției s (t) rezultă din usloviyavypolnennogo pentru curba buna.
Corolar 1. Pentru linia g se poate alege ca parametru lungimea arcului de la originea curbei până la un punct dat s = s (t).
Într-adevăr, pentru această funcție există o inversă t = t (s) și, prin urmare, (t) = (t (s))
Corolarul 2. dt, ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. ds este un element de lungime a arcului.
Un exemplu. Lungimea liniei lanțului este y = ch x.
Se selectează parametrizarea curbei în forma x = t, y = cht. T Î[0, t0].
5.3 Curbe plate
Curbură, raza de curbură.