Proprietatea 2. Miscarea unui plan depaseste o linie dreapta intr-o linie, o raza intr-o raza, un segment intr-o linie.
Această proprietate urmează imediat din lema precedentă, proprietatea 1 și următoarea definiție a unui segment, a unei raze și a unei linii drepte:
Corolar. Punctele care nu se află pe o singură linie, mișcarea hărților la puncte care nu se află, de asemenea, pe o singură linie.
Proprietatea 3. Miscarea avionului planifica jumatate avionul intr-o jumatate de avion.
Dovada. Să presupunem că linia (AB) definește semiplanurile a și a ¢. Apoi, linia (A ¢ B ¢) = f (AB) împarte planul în două semi-planuri b și b ¢. Sarcina noastră este de a arăta că imaginile din oricare două puncte aparținând aceleiași semiplanul, de asemenea, fac parte din aceeași semiplanul și, dimpotrivă, imaginile din două puncte care nu aparțin aceleiași semiplanul, de asemenea, fac parte din aceeași semiplanul.
Lăsați punctul C Î a ¢. și punctul D Îa, apoi [DC]Ç(AB) =
și (D C). Pe de altă parte. Pentru imaginile lor, avem
(D ¢ ¢ C ¢), unde = [D ¢ C ¢]Ç(A ¢ B ¢).
În consecință, punctele D ¢ și C ¢ aparțin diferitelor semi-planuri b și b ¢.
Dacă acum presupunem că punctele C și D sunt în aceeași jumătate de plan, cum ar fi, și imaginile lor C ¢ și D ¢ aparțin diferitelor semiplanuri, având în vedere faptul că mișcarea de întoarcere va afișa punctul C ¢ și D ¢ la punctele C și D, care aparțin la diferite jumătăți de avion, obținem o contradicție cu condiția, deoarece punctele C și D aparțin unei jumătăți de avion.
Proprietatea 4. Mișcarea planului f reprezintă un unghi.
Dovada. Să presupunem că avem un unghi ÐAOB. atunci
f: AOB A ¢ O ¢ B ¢.
f: ÐAOB ÐA ¢ O ¢ B ¢.
Proprietatea 5. Mișcarea unui avion păstrează raportul simplu de trei puncte dintr-o linie dreaptă.
Dovada. Lăsați punctul C să împartă intervalul [AB] în raport cu l:
Pe de altă parte, avem
Deoarece mișcarea păstrează | l | și relația "se află între", atunci mișcarea păstrează un raport simplu de trei puncte.