Convergența punctuală

Acest termen are și alte semnificații, a se vedea convergența.

În matematică. convergența punctuală a unei secvențe de funcții pe un set este o formă de convergență. unde fiecare punct dintr-un set dat este asociat cu limita unei secvențe de valori ale elementelor unei secvențe în același punct.

O funcție definită în acest fel se numește funcția limită a unei secvențe dat sau limita sa punctuală. se spune că această secvență converge punctual la funcția limită.

O formă mai puternică de convergență este convergența uniformă. dacă secvența funcțională converge uniform. atunci această secvență converge de asemenea punctual. dar nu invers. Pentru ca limita punctuală a unei secvențe de funcții să fie uniformă, criteriul Cauchy trebuie îndeplinit.

Conceptul de convergență punctuală este transferat, în mod natural, la familii funcționale și serii funcționale.

definiție

lăsa $\backslash \backslash >\; \_\; ^$ O succesiune de funcții ale formularului $f\_n\; \backslash \; colon\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb$ ($n\; =\; 1,2,\; \backslash \; puncte$) unde $X$ Un domeniu de definiție care este același pentru toate funcțiile familiei.

Reparăm un punct $x\; \backslash \; în\; X$ și ia în considerare o secvență numerică a formularului $\backslash \; (x)\; \backslash >\; \_\; ^$.

Dacă această secvență are o limită (finită), atunci punctul $x$ Este posibilă compararea limitei acestei secvențe prin desemnarea acesteia $f\; (x)$:

Dacă luăm în considerare toate punctele din set $E\; \backslash \; subset\; X$, în care există limita indicată, atunci putem defini funcția $f\; \backslash \; colon\; E\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb$.

Astfel, o funcție definită este numită limita punctuală a unei secvențe de funcții a familiei $\backslash \backslash >\; \_\; ^$ pe set $E$:

$f\; \backslash \; n\; \backslash \; f\; \backslash \; quad\; \backslash \; \backslash \; Leftrightarrow\; \backslash \; stânga\; (\backslash \; forall\; x\; \backslash \; în\; E\; \backslash \; quad\; f\_n\; (x)\; \backslash \; to\; f\; (x)\; \backslash \; quad\; n\; \backslash$,

ci despre familia în sine $\backslash \backslash >\; \_\; ^$ spune că converge punctual la o funcție $f$ pe set $E$.

Conceptul convergenței punctuale într-un anumit sens contrastează cu conceptul de convergență uniformă. în mod specific,

Această afirmație este mai puternică decât declarația de convergență punctuală: fiecare secvență funcțională convergentă convergentă converge punctual la aceeași funcție limită, dar inversul, în general vorbind, nu este adevărat. De exemplu,

$\backslash \; lim\_\; x\; ^\; n\; =\; 0$ punct în intervalul [0,1], dar nu uniform pe intervalul [0,1].

Limita punctuală a unei secvențe de funcții continue nu poate fi o funcție continuă, ci numai dacă convergența nu este simultan uniformă. De exemplu, funcția

ia valoarea 1 dacă x este un număr întreg și 0 dacă x nu este un număr întreg și prin urmare nu este continuu pentru numere întregi.

Valorile funcției fn nu trebuie neapărat să fie reale, ci pot aparține oricărui spațiu topologic, astfel încât conceptul de convergență punctuală are sens. Pe de altă parte, convergența uniformă nu are, în general, nici un sens pentru funcțiile care iau valori în spații topologice, dar are sens în cazul particular când spațiul topologic este echipat cu o măsură.

Convergența punctuală este aceeași cu convergența în topologia produsului pe spațiul YX. Dacă Y este compact. apoi, prin teorema lui Tikhonov. spațiul YX este, de asemenea, compact.

În teoria măsurilor

În teoria măsurilor, se introduce conceptul de convergență aproape peste tot a unei secvențe de funcții măsurabile. definită pe un spațiu măsurabil. ceea ce înseamnă convergență aproape peste tot. Teorema lui Tegorov afirmă că convergența punctuală aproape peste tot pe un set de măsuri finite presupune o convergență uniformă pe un set doar puțin mai mic.

Scrie o recenzie pentru "Pointwise convergence"

Un extras care caracterizează convergența punctuală

Printul Vasili părea impresionant la Pierre. - Știu din surse bune că împărăteasa împărăteasă are un interes deosebit în această afacere. Știi, e foarte bună cu Helen.
De mai multe ori Pierre a fost de gând să vorbească, dar, pe de o parte, prințul Vasili nu l-au lăsat să-l, pe de altă parte, Pierre se temea să înceapă să vorbească în tonul de refuz ferm și dezacord în care el a hotărât cu fermitate să răspundă tatălui său în drept. În plus, au fost amintite cuvintele statutei masonice: "Treziți afectiv și prietenos". El se strâmbă, fard de obraz, a crescut și a căzut, lucrează la el în cele mai dificile din viața sa într-adevăr - spune neplăcut pentru ochiul uman nu poate spune ceea ce omul de așteptat, cine a fost. Era atât de obișnuit să se supună acestui ton al încrederii de sine a lui Prince Vasil, încât chiar și acum simțea că nu poate rezista; dar el a simțit că ceea ce are de spus acum, va depinde destinul întregului viitor să plece dacă el este un drum vechi, vechi, sau pentru noi, care este atât de atractiv a fost arătat să-l masonii, și el credea cu tărie că va găsi o renaștere pentru o viață nouă.
- Ei bine, draga mea, spuse prin glumă prințul Vasili, "spune-mi:" da ", iar eu o voi scrie de la ea și vom ucide taurul de grăsime. "Dar domnul Vasili nu avea timp să-și termine gluma, pentru că Pierre, cu o furie în fața lui, care semăna cu tatăl său, nu privea în ochii interlocutorului, spuse cu un șoaptă:
"Prinț, nu te-am sunat la mine, du-te, te rog, du-te!" Sări în sus și deschise ușa spre el.
- Du-te, repetă el, fără să se creadă și să se bucure de expresia stânjenelii și fricii care apăreau pe fața prințului Vasili.
- Ce se întâmplă cu tine? Ești bolnavă?
- Continuă! - A spus din nou o voce tremurândă. Și prințul Vasily a trebuit să plece fără să primească explicații.
O săptămână mai târziu, Pierre, plecând la revedere la noii prieteni ai francmasoneriei și lăsându-i mari sume în caritate, sa dus la propriile moșii. Noii săi frați i-au dat scrisori Kievului și Odesei, masonilor locali și i-au promis să-i scrie și să-l îndrume în noua sa activitate.

Cazul lui Pierre și Dolochov a fost înăbușit și, în ciuda gravității domnitorului în timpul duelurilor, nici dușmanul, nici secundul lor nu au fost răniți. Dar istoria duelului, confirmată de pauza lui Pierre cu soția lui, a fost divulgată în societate. Pierre, care a privit condescendent, ocrotitoare, când a fost fiul nelegitim, care dezmierdat și a lăudat când a fost cel mai bun mire a Imperiului Rus, după căsătoria sa, mireasa si mamele aveau nimic să se aștepte de la el, a pierdut o mulțime de opinia publică, cu atât mai mult că el nu a putut și nu a vrut să încurajeze favoarea publică. Acum a fost acuzat de ce sa întâmplat, au spus că era un om gelos stupid, supus acelorași crize de furie însetată de sânge ca și tatăl său. Și când, după plecarea lui Pierre, Helen sa întors la Petersburg, ea nu numai că era cordială, ci și cu o atingere de respect, care se referea la nenorocirea ei, acceptată de toți cunoștințele ei. Când conversația se referea la soțul ei, Helen acceptă o expresie demnă, pe care ea, deși nu înțelegea sensul ei, învățată de propriul ei tact. Expresia a spus că a decis, fără a se plânge, să-și poarte nenorocirea și că soțul ei este o cruce trimisă de ea de Dumnezeu. Printul Vasili și-a exprimat sincer opinia. El ridică din umeri când conversația se referea la Pierre și îndreptându-se spre frunte, a spus:
- Un cerveau fele - este le disais toujours. [Jumătate nebune - Am spus mereu asta.]
"Am spus mai devreme", a spus Anna Pavlovna despre Pierre ", am spus în același timp și mai întâi de toate (a insistat asupra primatului ei) că acesta este un tânăr nebun, stricat de ideile depravate ale secolului. Apoi mi-am spus atunci când toți i-au admirat și tocmai a venit din străinătate și amintește că, așa cum eram în seara aceea, era un fel de Marat. Ce sa încheiat? Nu am vrut încă această nuntă și am prezis tot ce s-ar întâmpla.
Anna Pavlovna a continuat să dea în zilele libere astfel de seri, la fel ca înainte, și genul pe care ea singură avea ustroivat cadou, seara, care a fost de gând să, în primul rând, la crème de la veritabil bonne societe, la fleur fină de l ' esența intelectuală a societății din Petersburg, [crema unei societăți reale bune, culoarea esenței intelectuale a societății Sankt-Petersburg], așa cum a spus ea însăși Anna Pavlovna. În plus, alegerea sofisticată a societății, în seara zilei de Anna Pavlovna distinge prin faptul că de fiecare dată pe seara lui Anna Pavlovna a servit comunitatea sa de ceva fata nou, interesant, și că nicăieri nu este la aceste părți, nu a vorbit grad atât de clar și puternic de termometru politic, pe care stătea starea de spirit a instanței legitimă societatea Petersburg.