Exponentul (numărul e) este un număr irațional, aproximativ egal cu 2,71828. Numărul e joacă un rol important în calculul diferențial și integral și este utilizat în practic toate domeniile științifice. O astfel de definiție matematică uscată nu dezvăluie deloc esența sensului fizic al exponentului. Să analizăm în detaliu
Înțelesul e
Numărul Pi nu este doar un număr irațional egal cu 3.1415, dar raportul dintre lungimea cercului și diametrul care este același pentru toate cazurile. În mod similar, numărul e are propriul său înțeles.
Exponentul este raportul de bază al creșterii pentru toate procesele de creștere. Orice număr poate fi considerat ca o unitate mărită, orice pătrat ca o unitate patrată scalată, orice triunghi echilateral ca triunghi regulat mărit sau redus și orice factor de creștere poate fi reprezentat ca un coeficient etalat e.
Operațiunile cu numărul e vă vor permite să stabiliți ratele de creștere în situații precum creșterea populației, acumularea dobânzilor la depozit sau timpul de înjumătățire al unei substanțe radioactive.
Creștere discretă
Ca exemplu de bază al unui sistem de dublare continuă, putem reproduce bacteriile, care se dublează la fiecare 24 de ore. Dacă dublarea apare o dată, atunci matematic obținem 2 în primul grad, adică doar 2. Dacă dublam x ori, atunci în final ajungem la 2 la puterea de x bacterii, bani sau orice alt tip.
Cu toate acestea, sistemul poate fi schimbat nu de 2 ori, dar de exemplu cu 20% sau 120%. În acest caz, putem reprezenta dublarea nu ca un leu, ci ca 1 + 1 sau 1 + 100%. Într-o astfel de intrare, putem înlocui orice rată de creștere și obține formula de creștere ca:
Creștere = (1 + creștere) ^ x,
unde x este numărul de cicluri de creștere.
Datorită acestei formulări, putem afla câte bacterii vom obține dintr-o celulă în 30 de zile. Cu toate acestea, bacteriile sunt împărțite discret, adică până când se formează o nouă celulă într-o zi, ea nu poate produce noi organisme. Aplicând această formulă la bani, obținem un rezultat complet diferit.
Creștere continuă
La calculul dobânzii la bani, nu există o creștere discretă, dar continuă. De îndată ce un depozit este câștigat la o rată de două mii, acești bani încep să-și aducă propriul profit. Nu este nevoie să așteptați până când se va "năsa" un întreg dolar, care va începe să împartă cu asemănarea cu bacteriile. Este suficient să formați un cent care va începe să genereze micro-profit.
Imaginați-vă că am investit 1 USD într-o afacere care ne promite un profit de 100% într-un an. Aceasta înseamnă că vom câștiga:
Venitul = (1 + 1) ^ 1 = 2
Doar $ 2 este rar. Cu toate acestea, dacă vom rupe anul pentru două jumătăți de an, vom primi 50 de cenți pentru fiecare șase luni. Centile primite pot genera deja profit independent, iar apoi formula se va schimba.
Venitul = (1 + 0,5) ^ 2 = 2,25
Deoarece acum avem două perioade de dublare, am ridicat piețele și am primit încă 25 de cenți în venituri. Dacă ne vom rupe profitul în 5 părți de 20 de cenți, acesta va fi și mai atractiv:
Venitul = (1 + 0,2) ^ 5 = 2,4883
Poate putem împărți profitul într-un număr infinit de mari de piese mici și să obținem un profit infinit? Din păcate, nu. Chiar dacă ne împărțim dolarul în 100.000 de părți, venitul va fi:
Venitul = (1 + 0,00001) ^ 100,000 = 2,71826
Având o diviziune infinită a dolarului, profitul va crește cu 100.000 de zecimale. Profitul nostru de 2.71826 de dolari va aspira la valoarea de 2.718281828, ceea ce nu este altceva decât numărul E.
Și ce înseamnă asta?
Exponentul este cel mai mare rezultat posibil de o creștere continuă de o sută la sută pentru o anumită perioadă de timp. Da, inițial ni sa promis un profit de 100%, adică doar 2 $, dar fiecare cent aduce dividende și, ca rezultat, avem profit de exact 2,71828 $. Numărul e este maximul pe care îl putem obține atunci când împărțim profitul în sume infinite.
Aceasta înseamnă că, dacă vom investi 1 USD într-o afacere cu un profit potențial de 100%, vom obține un profit net de 2.718 USD. Dacă se plătește 2 $, atunci obținem 2e din profitul net și, dacă avem 100 $, atunci profitul nostru va fi 100e. Astfel, e este constanta limita care limiteaza procesele de crestere in acelasi fel in care viteza luminii limiteaza circulatia informatiei in spatiu. Numărul e este rezultatul maxim posibil, dificil de realizat în practică, astfel încât, în realitate, multe procese sunt descrise folosind părți ale exponentului.
Folosirea exponentului în practică
La prima vedere, creșterea este reprezentată ca o adăugare de 1%, însă, matematic, o astfel de creștere este exprimată prin înmulțirea cu 1,01. Astfel, în operațiile cu numărul e, folosim grade sau rădăcini. Sau logaritmi naturali dacă avem nevoie de o operație inversă. Indiferent de câștigul pe care îl obținem, va însemna gradul pentru numărul e. De exemplu, dacă știm că în 3 ani vom obține un profit de 200%, atunci vom multiplica câștigul (e 2) cu 3 perioade și vom obține:
Pentru o mai bună înțelegere, ia în considerare exemplele.
Depozitați în bancă
Să presupunem că am plasat un depozit de 100 USD pe bancă la o rată anuală de 8%. Banca selectată ne oferă o capitalizare completă a interesului, ce fel de profit primim în 5 ani? Din moment ce banca ne oferă o creștere continuă a banilor, în 5 ani în contul nostru va fi deja:
Profit = 100 × e ^ (0,08 × 5) = 149,1
Teribil, nu-i așa? Din păcate, băncile reale folosesc rareori dobânzi compuse, iar dacă calculează capitalizarea, atunci prin formulele lor, care diferă ușor de exponentul clasic.
timp de înjumătățire
Imaginați-vă că aveți 5 kg de uraniu radioactiv, care se dizolvă la o rată de 100% pe an. Cât de mult uraniu aveți în 2 ani? În teorie, tot uraniul ar trebui să se dizolve în primul an, dar nu este. După 6 luni, veți avea numai 2,5 kg de uraniu, care, la rândul său, va începe să se destrame la o rată de numai 2,5 kg pe an. În câteva luni, 1 kg de uraniu va rămâne în depozit, dar se va deteriora și cu o viteză chiar mai mică la un nivel de 1 kg pe an. În timp, pierdeți combustibilul radioactiv, în timp ce rata de descompunere scade. Deci, după 2 ani veți avea:
Reziduul radioactiv = 5 × e ^ -2 = 0,676
concluzie
Exponentul este utilizat pe scară largă în situații în care se dezvoltă ceva continuu sau discret. Puteți utiliza calculatorul pentru a ridica numărul e la o putere pentru a calcula rezultatele creșterii oricăror procese continue.