Această teoremă poate fi formulată pentru secvențe de creștere după cum urmează:
Dacă secvența este mărită și mărginită de sus, atunci limita acestei secvențe este limita superioară a acesteia:
Pentru secvențe descrescătoare:
Dacă secvența este descrescătoare și limitată mai jos, atunci limita acestei secvențe este egală cu limita inferioară exactă a acesteia:
Notă. Teorema Weierstrass la limita unei secvențe monotonice este o teoremă asupra existenței unei limite a unei secvențe și nu oferă nici o metodă de a găsi această limită.
Exemple de rezolvare a problemelor
Să presupunem că există limita unei secvențe date, adică:
Ecuând laturile drepte ale ultimelor două egalități, ajungem la ecuația cu privire la:
Rezolvăm asta
Valoarea nu este adecvată, deoarece limita numărului non-negativ nu poate fi un număr negativ. Prin urmare, dacă limita unei secvențe date există, atunci ea este egală cu 3.
Să dovedim existența unei limite. Pentru aceasta, prin teorema lui Weierstrass, secvența trebuie să fie monotonă și limitată. Luați în considerare diferența
Numitorul ultimei fracții este pozitiv pentru orice valoare, iar numărătorul este negativ pentru. Astfel, pentru u, secvența dată este în creștere monotonică. Se pare că secvența crește doar până la al treilea termen?
Pentru ca o secvență în creștere monotonică să fie limitată, este necesar ca aceasta să fie delimitată mai sus. Să dovedim asta, pentru oricine. Realizăm dovada prin inducție matematică.
1 pas. Verificăm că inegalitatea ține atunci când. De fapt,
2 pas. Să presupunem că inegalitatea este valabilă pentru:.
3 pas. Să verificăm îndeplinirea inegalității pentru:
Prin urmare, se demonstrează că inegalitatea este valabilă pentru oricare dintre ele. Și prin teorema lui Weierstrass, secvența dat converge.