Definiție 7. Să avem o linie în avion. Punctele M și M 'se numesc simetrice în raport cu o linie dreaptă. dacă segmentul MM ¢. iar mijlocul lui este M0. Dacă punctul M,
Dacă punctul M. atunci se numește simetrică relativ dreaptă.
Definiție 8. Transformarea unui plan, care corespunde unui punct simetric cu acesta față de o linie dreaptă. se numește o simetrie axială cu o axă.
Indicăm simetria axială de S.
Alegem un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular pentru care axa este axa abscisa.
formule de simetrie axială în acest sistem de coordonate.
Formulele de transformare inversă vor avea forma
și anume Formulele pentru transformarea inversă au aceeași formă. Prin urmare, aceasta este aceeași transformare:
Astfel, simetria axială este o transformare invariantă a planului.
Din ecuația simetriei axiale rezultă că doar punctele la care ordonata este egală cu zero vor fi puncte fixe. Prin urmare, toate punctele din axa simetriei sunt fixate.
Este evident că axa simetriei este o linie dreaptă fixă. Este afișată în sine.
Să presupunem că linia # 8467; este dat de
# 8467;: Axa + Prin + C = 0.
Atunci imaginea lui are o ecuație
S (# 8467;): Axă ¢ - Prin ¢ + C = 0.
drept # 8467; va fi cartografiat în sine atunci când B = 0. Acestea sunt linii drepte perpendiculare pe axa de simetrie a. Cu toate acestea, fiecare punct al acestei linii nu este fixat.
Lăsați un unghi reglat a și un punct O să fie dat pe planul orientat.
Definiție 9. Transformarea unui plan definit de următoarele condiții:
1) imaginea punctului O în sine este punctul 0,
2) dacă imaginea punctului M (M1O) este punctul M ¢, atunci
| OM | = | OM ' și Ð MOM ¢ = a
se numește rotația planului cu un unghi θ în jurul punctului O.
În cele ce urmează vom folosi următoarea notație pentru o rotație în jurul centrului O sub un unghi a. R.
Notă. Dacă avem două rotații în jurul punctului O cu un unghi a și un unghi a ¢, unde
atunci aceste răsturnări coincid.
În consecință, unghiul de rotație poate fi luat în considerare în intervalul [].
Sarcina analitică de întoarcere.
Să presupunem că într-un sistem cartesian dreptunghiular de coordonate O există o rotație în jurul O cu un unghi de:
M ∈ O, M (x, y), M ¢ (x ¢, y ¢), Ð XOM =. ÐMOM ¢ = a.
Dacă facem o înlocuire, ajungem la formule
Formulele (1) determină rotirea planului cu un unghi a în jurul punctului O în sistemul de coordonate O.
Notă. Rotația printr-un unghi a = 0 este transformarea identității planului.
De fapt, formula (1) ia forma
4. Simetria centrală.
Definiția 10. Se consideră că punctele M și M 'sunt simetrice în raport cu punctul 0 dacă G este punctul central al segmentului MM'. Punctul O este simetric.
Definiția 11. Transformarea unui plan care hărțește fiecare punct într-un punct simetric față de el în raport cu centrul O este numit simetrie centrală cu centrul la punctul O și este notată cu Z0.
Este evident că simetria centrală este o rotație în jurul punctului O printr-un unghi de 180 °. Prin urmare, formula pentru simetria centrală se obține din formulele de rotație:
În simetria centrală, există doar un punct fix. Acesta este centrul simetriei. Și liniile drepte fixe sunt linii drepte care trec prin centrul simetriei. Observăm asta
adică, formulele pentru simetrii centrale directe și inverse au aceeași formă. În consecință, simetria centrală este, de asemenea, o transformare invariantă a planului.