Ecuația generală a unei linii drepte. Ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția paralelismului și perpendicularității a două linii drepte
În coordonatele carteziene, fiecare linie dreaptă este definită de o ecuație de gradul întâi și, invers, fiecare ecuație de gradul întâi definește o linie.
se numește ecuația generală a unei linii drepte.
Unghiul alfa, determinat așa cum se arată în Fig. se numește unghiul de înclinare al liniei la axa Ox. Tangenta pantei liniei drepte la axa Ox este numita panta liniei drepte; este de obicei indicat prin litera k:
Ecuația y = kx + b este numită ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular; k este panta, b este valoarea segmentului care taie linia pe axa Oy, numarand de la origine.
Dacă linia este dată de ecuația generală
atunci panta sa este determinată de formula
Ecuația y-y0 = k (x-x0) este ecuația unei linii drepte care trece prin punctul M0 (x0, y0) și are un coeficient unghial k.
Dacă linia trece prin punctele M1 (x1, y1), M2 (x2, y2), atunci panta sa este determinată de formula
este ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte M1 (x1, y1), M2 (x2, y2)
Dacă sunt cunoscuți coeficienții unghiali k1 și k2 ai două linii, atunci unul dintre unghiurile φ între aceste linii este determinat de formula
Un semn al paralelismului a două linii drepte este egalitatea coeficienților lor unghiui:
Un semn al perpendicularității a două linii este relația
k1k2 = -1 sau k2 = -1 / k1
Ecuația liniei care trece prin punctul C (-5, 4), știind că lungimea segmentului său cuprins între liniile x + 2y + 1 = 0, x + 2y-1 = 0 este egal cu 5. A se vedea decizie.
Ecuații incomplete ale unei linii drepte. Un studiu comun al ecuației a două și trei linii. Ecuația unei linii drepte în segmente
Dacă în ecuația generală a liniei
Unul sau doi dintre cei trei coeficienți (numărarea termenului liber) dispare, de asemenea, se consideră că ecuația este incompletă. Sunt posibile următoarele cazuri:
1). C = 0; ecuația are forma Ax + By = 0 și definește o linie dreaptă care trece prin origine.
2). B = 0 (A ≠ 0); ecuația are forma Ax + C = 0 și definește o linie dreaptă perpendiculară pe axa Ox. Această ecuație poate fi scrisă în forma x = a, unde a = -C / A este valoarea segmentului care taie linia pe axa Ox, numărând de la origine.
3). B = 0, C = 0 (A ≠ 0); ecuația poate fi scrisă în forma x = 0 și determină axa de coordonate.
4). A = 0 (B ≠ 0); ecuația are forma By + C = 0 și definește o linie dreaptă perpendiculară pe axa Oy. Această ecuație poate fi scrisă sub forma y = b, unde b = -C / B este valoarea segmentului care taie linia pe axa Oy, numărând de la origine.
5). A = 0, C = 0 (B ≠ 0); ecuația poate fi scrisă sub forma y = 0 și determină axa absciselor.
Dacă niciunul dintre coeficienții ecuației (1) nu este zero, atunci el poate fi transformat în formă
unde a = -C / A, b = -C / B sunt valorile segmentelor care taie linia pe axele de coordonate.
Ecuația (2) se numește ecuația liniei drepte "în segmente".
Dacă sunt date două linii prin ecuații
A1x + B1y + C1 = 0 și A2x + B2y + C2 = 0,
atunci pot fi trei cazuri:
a). A1 / A2 ≠ B1 / B2 - liniile drepte au un punct comun;
b). A1 / A2 = B1 / B2 ≠ C1 / C2 sunt drepte paralele;
c). A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 - îmbinarea liniilor, adică ambele ecuații definesc aceeași linie dreaptă.
Determinați pentru ce valoare a unei linii drepte:
1) Paralel cu abscisa;
2) Paralel cu axa ordinelor;
Pentru a crea ecuația unei linii drepte care trece prin punctul C (1; 1) și taie triunghiul cu zona de la unghiul de coordonate este 2. A se vedea soluția.
Ecuația normală a unei linii drepte. Distanta de la punct la linie
Să presupunem că o linie dreaptă este dată pe planul xOy. Desenăm perpendicular pe linia dată prin origine și o numim normal. Indicați prin F punctul de intersecție a normalei cu linia dată și stabiliți direcția pozitivă a normalului de la punctul O la punctul P.
Dacă unghiul alfa-polar al normalului, p este lungimea segmentului OP (Fig.), Apoi ecuația liniei date poate fi scrisă în forma
xcosa + ysina - p = 0
o ecuație de acest tip este numită normală.
Să se dea orice punct direct și arbitrar M *; indicăm prin d distanța de la punctul M * la linia dată. Abaterea δ punctul M * al liniei drepte este numărul de + d, iar dacă acest punct este minciuna de origine pe diferite părți ale unei anumite linii, și -D, în cazul în care acest punct, iar originea se află pe o parte a acestei linii. (Pentru punctele situate pe linia însăși, δ = 0). Cu condiția ca coordonatele x *, y * punct M * și normală ecuație linie dreaptă xcosa + ysina - p = 0, punctul M * deviație δ pe această linie dreaptă poate fi calculată cu formula
δ = x * cosa + y * sina - p
Astfel, pentru a găsi abaterea oricărui punct M * dintr-o linie dată, trebuie să înlocuim coordonatele punctului M * în partea stângă a ecuației normale a acestei linii în locul coordonatelor curente. Numărul rezultat va fi egal cu devierea dorită.
Pentru a găsi distanța d de la punct la linie. este suficient să se calculeze abaterea și să se ia modulul său: d = | δ |.
Dacă se dă o ecuație generală a liniei Ax + By + C = 0, atunci pentru ao aduce la forma normală, toți termenii acestei ecuații trebuie multiplicați cu factorul de normalizare μ, definit de formula
Semnul factorului de normalizare este ales opus semnului termenului liber al ecuației normalizate.
Vitezele succesive ale ABCD quadrilateral ale punctului A (-1; 6); B (-1; -4); C (7; -1); D (2; 9). Determinați dacă acest patrulater este convex. Vedeți soluția.
Ecuația unui fascicul de linii drepte
Setul de linii care trece printr-un punct S este numit un creion de linii cu centru în S.
Dacă A1x + B1y + C1 = 0 și A2x + B2y + C2 = 0 sunt ecuațiile a două linii intersectate la punctul S, atunci ecuația
alfa (A1x + B1y + C1) + beta (A2x + B2y + C2) = 0, (1)
unde alfa, beta sunt orice numere care nu sunt egale cu zero în același timp, definește o linie care trece, de asemenea, prin punctul S.
Mai mult decât atât, în ecuația (1) alfa, beta întotdeauna să fie alese astfel încât să fie determinată orice trece prin punctul S linia (pre-alocate), cu alte cuvinte, orice linie de fascicul S. Prin urmare, centrul formei ecuației (1) este ecuația (cu centrul la S).
Dacă α ≠ 0, atunci împărțind ambele laturi ale ecuației (1) cu α și stabilind β / α = lambda, obținem
A1x + B1y + C1 + lambda (A2x + B2y + C2) = 0, (2)
Această ecuație poate fi utilizată pentru a determina orice linie dreaptă a creionului cu centrul S, cu excepția celei care corespunde alfa = 0. care este, în plus față de directe
Găsiți ecuația liniei drepte ce aparține creionului liniilor drepte alfa (x + 2y-5) + beta (3x-2y + 1) = 0 și
1) Trecerea prin punctul A (3; -1);
2) trecerea prin origine;
3) axa paralelă Ox;
4) Axa paralelă Oy;
Ecuația polară a liniei drepte
O linie dreaptă trasă prin polul perpendicular pe o anumită linie este numită normală. Indicați cu P punctul în care intersecția normală cu linia; se stabilește pe normale o direcție pozitivă de la punctul O la punctul P. Unghiul la care axa polară trebuie rotit înainte de a fi suprapus pe segmentul OP va fi numit unghiul polar al normalului.
Se deduce ecuația polară a unei linii drepte, cunoscându-se distanța față de polul p și unghiul polar al alfa normal. Vezi soluția.
