Un punct se numește un punct maxim local al unei funcții dacă există o vecinătate a acestui punct, astfel încât pentru toate aceste vecinătăți urmărește următoarea inegalitate :.
Un punct este numit punct minim local al unei funcții dacă există o vecinătate a acestui punct, astfel încât pentru toate aceste vecinătăți.
Valoarea funcției la punctul maxim se numește maximul local. valoarea funcției la punctul minim este minimul local al funcției date. Valoarea locală maximă și minimă a unei funcții se numește extrema locală.
Un punct este numit punct al unui maxim local strict al unei funcții dacă, pentru toți un vecin al acestui punct, inegalitatea strictă este valabilă.
Un punct este numit punct de minim local strict al unei funcții dacă o inegalitate strictă este valabilă pentru toate împrejurimile acestui punct.
Valoarea cea mai mare sau cea mai mică a unei funcții pe un interval este numită extremum global.
Un extremum global poate fi atins fie în punctele unui extremum local, fie la capetele unui segment.
Condiția necesară pentru extremum
(Condiție necesară pentru un extremum)
Dacă funcția are un extremum la un punct, atunci derivatul său este fie zero, fie inexistent.
Punctele la care derivatul este egal cu zero sunt numite punctele staționare ale funcției.
Punctele la care condiția extrema necesară este îndeplinită pentru o funcție continuă sunt numite puncte critice ale acestei funcții. Adică punctele critice sunt fie puncte staționare (soluții ale ecuației), fie puncte în care derivatul nu există.
Nu la fiecare punct critic al funcției este necesar un maxim sau minim.
Prima condiție suficientă pentru extremum
(Prima condiție suficientă pentru un extremum)
Să presupunem că următoarele condiții sunt îndeplinite pentru o funcție:
- funcția este continuă într-o vecinătate a punctului;
- sau nu există;
- derivatul își modifică semnul atunci când trece printr-un punct.
Apoi, într-un punct, funcția are un extremum, iar acest lucru este minim dacă derivatul își modifică semnul de la minus la plus atunci când trece prin punct; maxim, dacă tranziția prin punctul derivatului își modifică semnul de la plus la minus.
Dacă derivatul nu schimbă semn atunci când trece printr-un punct, atunci nu există nici un extremum în acest punct.
Astfel, pentru a investiga funcția unui extremum, este necesar:
- găsiți derivatul;
- găsiți puncte critice, adică valori în care nici nu există;
- Să investigheze semnul derivatului din stânga și din dreapta fiecărui punct critic;
- găsiți valoarea funcției în punctele extreme.
Sarcină. Examinați funcția pentru un extremum.
Soluția. Găsim derivația unei funcții date:
În continuare căutăm puncte critice ale funcției, pentru aceasta rezolvăm ecuația:
Primul derivat este definit în toate punctele. Astfel, avem un punct critic. Aplicați acest punct de pe axa de coordonate și să examineze semnul derivatei stânga și în dreapta acestui punct (pentru această perioadă a fiecărei ia o valoare arbitrară și de a găsi valoarea derivatului de la punctul selectat, determină semnul valorii obținute):
Deoarece punctul de tranziție prin derivat schimbat semnul său „-“ la „+“, atunci în acest moment funcția atinge un minim (sau o valoare minimă) și.
Notă. De asemenea, este posibil să se determine intervalele de monotonie ale unei funcții. deoarece pe intervalul de derivat, atunci pe acest interval funcția este în descreștere; pe intervalul derivat, astfel încât funcția dată crește pe ea.
A doua condiție suficientă pentru extremum
(A doua condiție suficientă pentru un extremum)
Să presupunem că următoarele condiții sunt îndeplinite pentru o funcție:
- este continuă într-un cartier de punct;
- primul derivat din punct;
- într-un punct.
Apoi, un extremum este atins în punctul respectiv și, dacă, atunci funcția are un minim în acest punct; dacă, atunci într-un punct, funcția atinge un maxim.
Sarcină. Investigați funcția la un extremum cu ajutorul celui de-al doilea derivat.
Soluția. Gasim primul derivat al unei functii date:
Gasim punctele la care primul derivat este zero:
Al doilea derivat al unei funcții date:
La punctul staționar cel de-al doilea derivat, și prin urmare, în acest moment, funcția atinge un nivel minim, și.